Question

Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a + b +c = 1

CMR : \(\dfrac{ab}{c+1}\) + \(\dfrac{bc}{a+1}\) + \(\dfrac{ca}{b+1}\) \(_{\le}\) \(\dfrac{1}{4}\)

Answer 1

2/Áp dụng BĐT cho 2 số dương:
1/(a+b) ≤ 1/4( 1/a + 1/b)
ta có: c + 1 = c + a + b + c
ab/(c + 1) ≤ ab/4.[1/(a + c) + 1/(b + c)] (1)
bc/(a+1) ≤ bc/4.[1/( a + c) + 1/(b + a)] (2)
ca/(b+1) ≤ ac/4.[1/(a + b) + 1/(c + b)] (3)
Cộng (1) (2) (3):
ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≤ 1/4 [ab/(a + c)+ab/(b + c)+bc/(a + c)+bc/(a + b)+ac/(a+b)+ac/(b+c)]
<=> ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≤ 1/4( a + b +c)
<=> P ≤ 1/4 (đpcm)

Answer 2

Áp dụng BĐT cho 2 số dương:
1/(a+b) ≤ 1/4( 1/a + 1/b)

Xét: c + 1 = c + a + b + c
ab/(c + 1) ≤ ab/4.[1/(a + c) + 1/(b + c)]

Tương tự:
bc/(a+1) ≤ bc/4.[1/( a + c) + 1/(b + a)]
ca/(b+1) ≤ ac/4.[1/(a + b) + 1/(c + b)]

Cộng lại:
ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≤ 1/4{ ab/(a + c)+ab/(b + c)+bc/(a + c)+bc/(a + b)+ac/(a+b)+ac/(b+c)}
Cộng lại + rút gọn mẫu số.
ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≤ 1/4( a + b +c) = 1/4

Dấu '=' xảy ra khi a = b = c