Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+1)(b^2+1)=(a^2+1)(1+b^2)\geq (a+b)^2$
$\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\geq (a+b)^2$
$\Rightarrow a^2b^2+2a^2+2b^2+4\geq (a+b)^2+a^2+b^2+3$
Mà $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$ (theo AM-GM)
$\Rightarrow a^2b^2+2a^2+2b^2+4\geq (a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}+3$
Hay $(a^2+2)(b^2+2)\geq \frac{3}{2}[(a+b)^2+2]$
$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq \frac{3}{2}[(a+b)^2+2](c^2+2)(*)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$[(a+b)^2+2](c^2+2)\geq [\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{2}c]^2=2(a+b+c)^2=18(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq \frac{3}{2}.18=27$
Vậy GTNN của biểu thức đã cho là $27$ khi $a=b=c=1$
@Akai Haruma em có cách khác ạ
