Question

Cho 30 số nguyên dương sao cho tổng của chúng không vượt quá 45. Chứng minh luôn tồn tại trong 30 số đó một dãy số liên tiếp có tổng bằng 14.

Answer 1

"Một dãy số liên tiếp" là sao vậy bạn, mình không hiểu lắm :) ,nhưng mình nghĩ câu hỏi như thế này: CMR ta có thể lấy được một số số nguyên dương trong 30 số trên sao cho tổng của chúng bằng 14.

Gọi \(a_1,a_2,...,a_{30}\) là 30 số nguyên dương theo đề bài.

Đặt \(S_1=a_1;S_2=a_1+a_2;...;S_k=\sum\limits^k_{i=1}a_i;...;S_{30}=\sum\limits^{30}_{i=1}a_{30}\) , với \(1\le k\le30\).

Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại hai số \(S_m,S_n\) sao cho \(S_m\equiv S_n\left(mod14\right)\) và \(m\ne n\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(m>n\). Khi đó \(\left(S_m-S_n\right)⋮14\Rightarrow\sum\limits^m_{i=n+1}a_i⋮14\). Vậy ta đã tìm được một số số nguyên dương trong 30 số trên thoả yêu cầu bài toán.