Question

Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\)

tìm giá trị lớn nhất của biết thức

Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\((x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{x}{2}\geq \sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\leq \frac{xyz}{2}\)

\((y-4)+4\geq 4\sqrt{y-4}\) \(\Leftrightarrow \frac{y}{4}\geq \sqrt{y-4}\)

\(\Rightarrow zx\sqrt{y-4}\leq \frac{xyz}{4}\)

\((z-9)+9\geq 6\sqrt{z-9}\Leftrightarrow \frac{z}{6}\geq \sqrt{z-9}\)

\(\Rightarrow xy\sqrt{z-9}\leq \frac{xyz}{6}\)

Do đó:

\(Q\leq \frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}=\frac{xyz.\frac{11}{12}}{xyz}=\frac{11}{12}\)

Vậy \(Q_{\max}=\frac{11}{12}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-1=1\\ y-4=4\\ z-9=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2; y=8; z=18\)