#Xin lỗi cho t gửi nhờ
Ta có:
\(\frac{x}{1+4y^2}=\frac{x\left(1+4y^2\right)-4xy^2}{1+4y^2}=x-\frac{4xy^2}{1+4y^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(1+4y^2\ge4y\Rightarrow\frac{4xy^2}{1+4y^2}\le\frac{4xy^2}{4y}=xy\) \(\Rightarrow-\frac{4xy^2}{1+4y^2}\ge-xy\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+4y^2}\ge x-xy\)
Tương tự ta có: \(P\ge x+y+z-\left(xy+yz+zx\right)\)
C/m ở câu a: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow-\left(xy+yz+zx\right)\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó: \(P\ge x+y+z-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{3}=\frac{3}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy...
Lời giải:
Nên bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một phân biệt. Đặt biểu thức cần chứng minh bằng $0$ là $P$
Ta có:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{b}{(b-c)(c-a)}+\frac{c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a}{(c-a)(b-c)}+\frac{c}{(c-a)(a-b)}+\frac{a}{(a-b)(b-c)}+\frac{b}{(a-b)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{b(a-b)+c(c-a)+a(a-b)+c(b-c)+a(c-a)+b(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\Rightarrow P=0\) (đpcm)