Question

cho 3 số dương a,b,c. cmr:1<\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)<2

Answer 1

\(A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)

Vì \(a;b;c\) là các số thực dương nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo 3 vế :

\(A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=1\)(1)

Vì \(a;b;c\) là 3 số thực dương nên \(\dfrac{a}{a+b};\dfrac{b}{b+c};\dfrac{c}{c+a}< 1\) nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo 3 vế:

\(A< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(1< A< 2\)