Question

Cho 3 số dương a,b,c biết 0≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1

Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\) ≤ 2

Answer 1

Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-b-a+ab\ge0\Leftrightarrow1+ab\ge a+b\)(1)

Tiếp tục chứng minh ta được: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge c\\ab\ge0\end{matrix}\right.\)(2)

Cộng theo vế pt(1) với pt(2) ta được:

\(1+ab+1+ab\ge a+b+c+0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\ge a+b+c\)

Nên: \(\dfrac{c}{ab+1}=\dfrac{2c}{2\left(ab+1\right)}\le\dfrac{2c}{a+b+c}\)

Chứng minh tương tự suy ra đpcm

Answer 2

Câu hỏi của Phạm Quốc Anh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath