Question

Cho 3 số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a+b+c=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\)

Answer 1

 Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)

Tương tự ta cũng có 

           \(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)