Cho 2 đường tròn (O) ,(O') tiếp xúc ngoài nhau tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE,D thuộc (O), E thuộc (O') .Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A,cắt DE tại I.Gọi M là giao didemr của OI và AD,N là giao điểm của O'I và AE.
a.Tứ giác AMIN là hihf gì?Vì sao?
b.Chứng minh hệ thức : IM.IO=IN.IO'
c.Chứng minh OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
(Tự vẽ hình)
a) Ta có: IO là phân giác góc AID (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)
Tương tự: IO' là phân giác góc AIE
mà \(\widehat{AID}+\widehat{AIE}=180^0\) (kề bù)
=> \(\widehat{OIO'}=90^0\) (2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc) (1)
OA=OD (bán kính)
và IA=ID (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)
=> OI là đường trung trực của AD
=> \(\widehat{AMI}=90^0\) (2)
Tương tự: O'I là đường trung trực của AE
=> \(\widehat{ANI}=90^0\) (3)
Từ (1), (2) và (3) => Tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Ta có: O,A,O' thẳng hàng
và AI⊥OO' (tiếp tuyến ⊥ bán kính)
Tam giác vuông AIO có:
AI2=IM.IO (4)
Tam giác vuông AIO' có:
AI2=IN.IO' (5)
Từ (4) và (5) => IM.IO=IN.IO'
c) Ta có: IA=ID và IA=IE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)
=> Đường tròn đường kính DE có tâm là I và đi qua điểm A.
mà OO'⊥IA nên OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.