Question

Cho 0 < x , y , z < \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) và xy + yz +xz = \(\dfrac{3}{4}\)

Tìm min \(P=\dfrac{4x}{3-4x^2}+\dfrac{4y}{3-4y^2}+\dfrac{4z}{3-4z^2}\)

Answer 1

Chứng minh bổ đề: \(\dfrac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4x^3\ge3x\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^3}{4}}=3x\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có

\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)

Vậy \(P_{min}=3\)