Question

Cần bao nhiêu số hạng của tổng: S = 1+2+3+.................... để được 1 số có 3 chữ số giống nhau?

Answer 1

Giải:

Đặt \(S=1+2+3+...+n=\overline{aaa}\left(0< a\le9\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\overline{aaa}\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)=2.\overline{aaa}\)

Ta có: \(2\overline{aaa}< 2000\Rightarrow n\left(n+1\right)< 2000\)

\(\Rightarrow n^2< 2000\Rightarrow n< 47\)

\(n\left(n+1\right)=2\overline{aaa}\Rightarrow n\left(n+1\right)=2.111.\overline{aaa}=2.37.\overline{aaa}⋮37\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮37\)

Mà \(n< 47\) và \(37\in P\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=37\\n+1=37\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=37\\n=36\end{matrix}\right.\)

Thử lại ta có n = 36

Từ đó, cần số số hạng là:

\(\left(36-1\right):1+1=36\) ( số hạng )

Vậy...