Câu hỏi của Nguyễn Kiều Hạnh

Question

Biết $\int_1^e\frac{1-\ln x}{\left(x+\ln x\right)^2}dx=\frac{1}{ae+b}$ với a, b$\in$ Z. Tính $a^2+b^2$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$I=\int\limits^e_1\frac{\frac{1-lnx}{x^2}}{\left(1+\frac{lnx}{x}\right)^2}dx$

Đặt $\frac{lnx}{x}=t\Rightarrow\left(\frac{1-lnx}{x^2}\right)dx=dt$

$\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{1}{e}}_0\frac{dt}{\left(1+t\right)^2}=-\frac{1}{1+t}|^{\frac{1}{e}}_0=\frac{1}{e+1}$

$\Rightarrow a=b=1\Rightarrow a^2+b^2=2$Câu trả lời: $I=\int\limits^e_1\frac{\frac{1-lnx}{x^2}}{\left(1+\frac{lnx}{x}\right)^2}dx$

Đặt $\frac{lnx}{x}=t\Rightarrow\left(\frac{1-lnx}{x^2}\right)dx=dt$

$\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{1}{e}}_0\frac{dt}{\left(1+t\right)^2}=-\frac{1}{1+t}|^{\frac{1}{e}}_0=\frac{1}{e+1}$

$\Rightarrow a=b=1\Rightarrow a^2+b^2=2$

Bài 3b: Luyện kĩ năng: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng