Bài 1:Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E
a) Chứng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE
c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ABC có BC cố định, AM = m không đổi
d) ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó
a: Xét ΔAMB có MD là phân giác
nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AM}{MC}\left(1\right)\)
Xét ΔAMC có ME là phân giác
nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{MC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)
Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)
nên DE//BC
b: M là trung điểm của BC
nên \(MB=MC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)
Xét ΔAMB có MD là phân giác
nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MB}\)
=>\(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{m}{\dfrac{a}{2}}=m:\dfrac{a}{2}=\dfrac{2m}{a}\)
=>\(\dfrac{DB}{AD}=\dfrac{a}{2m}\)
=>\(\dfrac{DB+AD}{AD}=\dfrac{a+2m}{2m}\)
=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{a+2m}{2m}\)
=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2m}{a+2m}\)
Xét ΔABC có DE//BC
nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\)
=>\(\dfrac{DE}{a}=\dfrac{2m}{a+2m}\)
=>\(DE=\dfrac{2am}{a+2m}\)