\(n^2+4n+2013\) là số chính phương
Đặt \(n^2+4n+2013=t^2\left(t\in Z^+\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2-\left(n^2+4n+4\right)=2009\)
\(\Leftrightarrow t^2-\left(n+2\right)^2=2009\)
\(\Leftrightarrow\left(t-n-2\right)\left(t+n+2\right)=2009\)
Thấy: \(t+n+2>t-n-2\forall t,n\in Z^+\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t+n+2=2009\\t-n-2=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=1005\\n=1002\end{matrix}\right.\) (thỏa)
Vậy \(n=1002\) thì \(n^2+4n+2013\) là SCP
Đặt n2+4n+2013=m2
⇔2009=(m−n−2)(m+n+2)
Vì m,n là số tự nhiên nên chia TH ra để tìm
Đặt \(n^2+4n+2013=k^2\left(k\in Z\right)\) (bạn xem lại đề nhé \(n\in Z\) thì k\(\in Z\) mình phải lấy như vậy vì nếu ko sẽ có nhiều GT của k lắm ko xét được)
\(n^2+4n+2013=k^2\)
\(\Leftrightarrow n^2+4n+4+2009=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2+2009=k^2\)
\(\Leftrightarrow k^2-\left(n+2\right)^2=2009\)
\(\Leftrightarrow\left(k-n-2\right).\left(k+n+2\right)=2009\)=-1.(-9)=1.9
Do (k-n-2)<(k+n+2) nên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=1\\k+n+2=2009\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=1002\\k=1005\end{matrix}\right.\)
hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=-2009\\k+n+2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=1002\\k=1005\end{matrix}\right.\)
Vậy n=1002