CMR: với mọi số thực a; b; c thì:
\(\left(a+b\right)^6+\left(b+c\right)^6+\left(c+a\right)^6\ge\dfrac{16}{61}\left(a^6+b^6+c^6\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR
\(\frac{2\left(b+c-a\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{2\left(c+a-b\right)^2}{2b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{2\left(a+b-c\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\) ≥ 1
cho a,b,c là các số thực . Cmr:
\(\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}\ge3+\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
cho a,b,c là các số thực dương
Cmr: \(\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2c}{a}\ge3+\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
7 Chứng minh các đẳng thức sau
a) \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\) ; b) \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)
c) \(a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\right]\)
d) \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2\right]\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:
a) \(a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge0\)
b) \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\) . CMR : \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b\left(b+2c\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{c\left(c+2a\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a\left(a+2b\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}}}\)
Bài 1 : Cho 2 số thực a , b thỏa mãn a + b = 5 và ab = 6 . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau : \(a^2+b^2\) ; \(a^3+b^3\); \(a^4+b^4\) ; \(a^5+b^5\) ; \(a^6+b^6\)
Bài 2 :
a) Chứng minh rằng : \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\) với mọi số thực a , b
b) Cho hằng đẳng thức \(2a^2-5ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\)
c) Chứng minh rằng \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
d) Chứng minh rằng \(\left(ax+by\right)^2+\left(ay-bx\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) với mọi số thực a , b , x , y
Cho a,b,c > 0. CMR P = \(\frac{a^2}{b\left(b+2c\right)}+\frac{b^2}{c\left(c+2a\right)}+\frac{c^2}{a\left(a+2b\right)}\) ≥ 1
