Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
a, CM: C là trọng tâm tam giác ADE.
b, Tia AC cắt DE tại M, CM: AE // HM.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Ba đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O.
a, Tính AM, BN, CE.
b, Tính diện tích tam giác BOC.
Help me!!! Mk cần gấp!!!
a) Xét \(\Delta ADE\) có :
\(HE\) là đường trung tuyến của \(AD\) ( HA=HD )(1)
Ta thấy \(HC=\dfrac{1}{2}BC\) ( AH là đường trung tuyến của BC )
Mà BC = CE (gt )
\(\Rightarrow HC=\dfrac{1}{2}CE\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow C\) là trọng tâm của \(\Delta ADE\)
b) Hơi khó đấy :)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có :
\(HA\) chung
\(HB=HC\) ( AH là đường trung tuyến của BC )
\(AB=AC\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
Do đó : \(\Delta AHB=\Delta AHC\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( hai góc tương ứng )
Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\) ( hai góc kề bù )
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta HED\) có :
\(HE\) chung
\(HA=HD\) ( HE là đường trung tuyến của AD )
\(\widehat{AHE}=\widehat{DHE}\left(=90^o\right)\)
Do đó : \(\Delta AHE=\Delta DHE\) ( hai cạnh góc vuông )
\(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{DEH}\) ( góc tương ứng ) (*)
Vì C là trọng tâm của \(\Delta AED\) \(\Rightarrow AM\) là đường trung tuyến của DE )
\(\Rightarrow DM=ME\)
Xét \(\Delta HED\) vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE
\(\Rightarrow HM=DM\) (1)
Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức \(HM=\dfrac{1}{2}DE\). Mà \(\dfrac{1}{2}DE=DM\)\(\Rightarrow HM=DM\)
Trở lại vào bài :
Mặt khác \(DM=ME\left(cmt\right)\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HM=ME\)
\(\Rightarrow\Delta HME\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MHE}=\widehat{MEH}\)
Dễ thấy \(\widehat{MEH}=\widehat{HEA}\left(cmt\right)\) ở cái (*)
\(\Rightarrow\widehat{MHE}=\widehat{HEA}\)
mà hai góc này ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow HM\)//\(AE\) (đpcm)
a) Xét ΔADEΔADE có :
HEHE là đường trung tuyến của ADAD ( HA=HD )(1)
Ta thấy HC=12BCHC=12BC ( AH là đường trung tuyến của BC )
Mà BC = CE (gt )
⇒HC=12CE⇒HC=12CE (2)
Từ (1) và (2) ⇒C⇒C là trọng tâm của ΔADEΔADE
b) Hơi khó đấy :)
Xét ΔAHBΔAHB và ΔAHCΔAHC có :
HAHA chung
HB=HCHB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )
AB=ACAB=AC ( ΔABCΔABC cân tại A )
Do đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)
⇒AHBˆ=AHCˆ⇒AHB^=AHC^ ( hai góc tương ứng )
Mà AHBˆ+AHCˆ=180oAHB^+AHC^=180o ( hai góc kề bù )
⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2=90o⇒AHB^=AHC^=180o2=90o
Xét ΔAHEΔAHE và ΔHEDΔHED có :
HEHE chung
HA=HDHA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )
AHEˆ=DHEˆ(=90o)AHE^=DHE^(=90o)
Do đó : ΔAHE=ΔDHEΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )
⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng ) (*)
Vì C là trọng tâm của ΔAEDΔAED ⇒AM⇒AM là đường trung tuyến của DE )
⇒DM=ME⇒DM=ME
Xét ΔHEDΔHED vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE
⇒HM=DM⇒HM=DM (1)
Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEHM=12DE. Mà 12DE=DM12DE=DM⇒HM=DM⇒HM=DM
Trở lại vào bài :
Mặt khác DM=ME(cmt)DM=ME(cmt)(2)
Từ (1) và (2) ⇒HM=ME⇒HM=ME
⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M
⇒MHEˆ=MEHˆ⇒MHE^=MEH^
Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)MEH^=HEA^(cmt) ở cái (*)
⇒MHEˆ=HEAˆ⇒MHE^=HEA^
mà hai góc này ở vị trí so le trong
⇒HM⇒HM//AEAE (đpcm)