Question

a) Không dùng máy hãy so sánh: \(\sqrt{2016}-\sqrt{2015}\) và \(\sqrt{2017}-\sqrt{2016}\)

b) Cho a,b là hai số thực không âm biết a+b=1008. Tìm giá trị lớn nhất của P = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Answer 1

Câu a : Ta có :

\(\sqrt{2016}-\sqrt{2015}=\dfrac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}\)

\(\sqrt{2017}-\sqrt{2016}=\dfrac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}\)

Mà : \(\sqrt{2016}+\sqrt{2015}< \sqrt{2017}+\sqrt{2016}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}>\dfrac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}\)

Vậy : \(\sqrt{2016}-\sqrt{2015}>\sqrt{2017}-\sqrt{2016}\)

Câu b : Ta có : \(P=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp xki ta có :

\(P^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+b\right)=2.1008=2016\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{2016}\)

Vậy GTLN của P là \(\sqrt{2016}\) khi \(a=b=504\)