3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC , góc A nhọn. Gọi H là trung điểm của BC. a. Chứng minh tam giác ABH = Tam giác ACH và AH vuông góc với BC. b) Kẻ BD vuông góc AC (D thuộc AC) . Trên tia DH, lấy K sao cho H là trung điểm của DK. Cm: Tam giác HDB = Tam giác HKC c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB .Chứng minh DMC = 1/2BAC
a: Xét ΔAHB và ΔAHC có
AH chung
HB=HC
AB=AC
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)
mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)
nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AH\(\perp\)BC tại H
b: Xét ΔHDB và ΔHKC có
HD=HK
\(\widehat{DHB}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)
HB=HC
Do đó: ΔHDB=ΔHKC
c: Ta có: DM=DB
mà D nằm giữa M và B
nên D là trung điểm của BM
Xét ΔCBM có
CD là đường cao
CD là đường trung tuyến
Do đó: ΔCBM cân tại C
=>\(\widehat{CBM}=\widehat{CMB}\)
mà \(\widehat{CBM}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{ACH}\right)\)
nên \(\widehat{CMB}=\widehat{HAC}\left(1\right)\)
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên AH là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{HAC}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{DMC}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\)