Question

1) Tìm số dư khi chia 1999²⁰⁰¹cho 31

2) Chứng minh \(1924^{2003^{2004^n}}+1920⋮124\)∀ \(n\ge1\)

Answer 1

1/ Ta có: \(1999^{30}\equiv\left(1999^2\right)^{15}\equiv8^{15}\equiv\left(8^3\right)^5\equiv16^5\equiv1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow\left(1999^{30}\right)^{66}\equiv1\left(mod31\right)\Leftrightarrow1999^{1980}\equiv1\left(mod31\right)\) (1)

Lại có: \(1999^{21}\equiv\left(1999^2\right)^{10}.1999\equiv8^{10}.15\equiv\left(8^5\right)^2.15\equiv15\left(mod31\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1999^{1980}.1999^{21}\equiv15\Leftrightarrow1999^{2001}\equiv15\left(mod31\right)\)

Hay \(1999^{2001}\) chia cho 31 có số dư là 15.

P/s: Cả năm nay không làm dạng này nên không chắc nha! Lục nghề mất r

Answer 2

2) Khó đây, không chắc đâu. Mình thử dùng quy nạp:

Trước hết ta chứng minh nó với n = 1. Tức là chứng minh \(1924^{2003^{2004}}+1920⋮124\)

\(\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}+1920\equiv0\left(mod124\right)\)

Tách: 124 =4 . 31

Ta có: \(1924\equiv0\left(mod4\right)\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}\equiv0\left(mod4\right)\)

Lại có: \(1924^{30}\equiv1\left(mod31\right)\) (bạn tự chứng minh được mà:D)

Mà: \(2003^{2004}\equiv23^{2004}\equiv19^{1002}\equiv\left(19^2\right)^{501}\equiv1\left(mod30\right)\)

Đặt \(2003^{2004}=30k+1\). Do đó \(1924^{2003^{2004}}=1924^{30k+1}=\left(1924^{30}\right)^k.1924\equiv1.1924\equiv2\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2\equiv0\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2-31.2\equiv0\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod31\right)\)

Mà \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4\right)\)

Suy ra \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4.31=124\right)\)

Do đó: \(1924^{2003^{2004}}+1920\equiv64+1920\equiv0\left(mod124\right)\)

Vậy nó đúng trong trường hợp n = 1. Ta giả sử nó đúng đến n = k.

Tức là: \(1924^{2003^{2004^k}}+1920⋮124\)

Ta đi chứng minh: \(1924^{2003^{2004^{k+1}}}+1920⋮124\)

Tới đây bí cmnr:(

Answer 3

b) Tách 124= 4.31

- Tìm dư khi chia 1924^2003^2004^n + 1920 cho 4

Có 1924 đồng dư 0 (mod4)

=> 1924^2003^2004^n đồng dư 0 (mod4)

1920 đồng dư 0 (mod4)

<=> 1924^2003^2004^n + 1920 đồng dư 0 (mod4)

- Tìm dư trong phép chia 1924^2003^2004^n + 1920 cho 31

*) Tìm dư: 1924^2003^2004^n cho 31

 Có 1924 đồng dư 2 (mod31)

Mà 2^5 đồng dư 1 (mod31)

=> 1924^5 đồng dư 1 (mod 31)

- Ta phải tìm dư trong phép chia 2003^2004^n cho 5

   2003 đồng dư 3 (mod5)

Mà 3^4 đồng dư 1 (mod5)

=> 2003^4 đồng dư 1 (mod 5)

- Ta phải tìm dư trong phép chia 2004^n cho 4

2004 đồng dư 0 (mod 4)

=> 2004^ n đồng dư 0 (mod4)

=> 2004^n = 4k

=> 2003^2004^n = 2003^4k đồng dư 1 (mod 5)

=> 2003^2004^n = 5k + 1

=> 1924^2003^2004^n = 1924^5k+1 = 1924^5k . 1924 đồng dư 2 (mod31)

1920 đồng dư 29 (mod31)

=> 1924^2003^2004^n + 1929 đồng dư 2 + 29 đồng dư 31 đồng dư 0 (mod31)

- Vì    1924^2003^2004^n + 1920 chia hết cho 4

        và 1924^2003^2004^n + 1920 chia hết cho 31

=> 1924^2003^2004^n + 1920 chia hết cho 4.31 chia hết cho 124

Vậy....