1. Giả sử \(a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A\) \(\left(A\in Z;A\ne0\right)\)
\(\Rightarrow a-3=A.a^2+2A\Rightarrow A.a^2-a+2A+3=0\)
\(\Delta=1-4A\left(2A+3\right)\ge0\Rightarrow-8A^2-12A+1\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\le A\le\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4}\)
Mà A nguyên \(\Rightarrow A=0\) hoặc \(A=-1\)
\(A=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3\)
\(A=-1\Rightarrow-a^2-a+1=0\) \(\Rightarrow\) pt ko có nghiệm nguyên
Vậy a=0 thì a-3 chia hết \(a^2+2\)
2. \(x^2-2y=1\Rightarrow2y=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Nếu x chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow\) y không phải số tự nhiên (loại)
Nếu x lẻ \(\Rightarrow x-1\) và \(x+1\) đều là số chẵn \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4\)
Đặt \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k\) với \(k\in N;k\ge1\)
\(\Rightarrow2y=4k\Rightarrow y=2k\)
Nếu \(k=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x^2=2y+1=5\) \(\Rightarrow\) x không phải số tự nhiên (loại)
Nếu \(k>1\) \(\Rightarrow\) y là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) y không phải là số nguyên tố
\(\Rightarrow\)Không tồn tại cặp số nguyên tố (x;y) nào để \(x^2-2y=1\)
3. Nếu d=0 =>d chia hết cho 6. Xét d>0, d là STN
Ta luôn có \(p>2\) do nếu \(p=2\Rightarrow p+2d=2\left(d+1\right)\) là hợp số, vô lý
\(\Rightarrow\) p là số lẻ \(\Rightarrow d\) là số chẵn (vì nếu d lẻ thì p+d chẵn là hợp số) \(\Rightarrow d⋮2\)
TH1: \(p=3a+1\)
Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+2d=3a+1+6b+2=3\left(a+2b+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\) vô lý (do giả thiết p+2d là số nguyên tố)
Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+d=3a+1+3b+2=3\left(a+b+1\right)⋮3\) vô lý
Vậy \(d=3b\Rightarrow d⋮3\Rightarrow d⋮6\)
TH2: \(p=3a+2\)
Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+d=3a+2+3b+1=3\left(a+b+1\right)⋮3\) (loại)
Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+2d=3a+2+6b+4=3\left(a+2b+2\right)⋮3\) (loại)
Vậy \(d=3b⋮3\Rightarrow d⋮6\)
Kết luận: nếu p, p+d, p+2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6
4. Đề sai. Ta lấy ví dụ n=3 \(\Rightarrow2^3+1=9\) là hợp số, nhưng \(2^3-1=7\) là số nguyên tố
Hoặc \(n=5...\)
