Question

1/ Giải phương trình:

a) \(\sqrt{4x^2-4x+1}\le5-x\)

b) \(x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}=2\)

2/ Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH và BK. Chứng minh: \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Answer 1

\(x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}=2\) ; \(x\ge\dfrac{-1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}+2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}}=2\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{4}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}=2\\\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}=-2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=2-\sqrt{2}\)

Answer 2

a) \(\sqrt{4x^2-4x+1}\le5-x\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}\le5-x\)
\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|\le5-x\).
Để bất phương trình có nghiệm thì \(5-x\ge0\Leftrightarrow x\le5\).
Nếu \(x\le\dfrac{1}{2}\), bất phương trình trở thành:
\(1-2x\le5-x\Leftrightarrow-x\le4\)\(\Leftrightarrow x\ge-4\).
vậy \(-4\le x\le\dfrac{1}{2}\) là nghiệm của bất phương trình. (1)
nếu \(\dfrac{1}{2}\le x\le5\), bất phương trình trở thành:
\(2x-1\le5-x\Leftrightarrow3x\le6\)\(\Leftrightarrow x\le2\).
vậy \(\dfrac{1}{2}\le x\le2\) là nghiệm của bất phương trình. (2)
kết hợp điều kiện (1) và (2) ta có \(-4\le x\le2\) là nghiệm của bất phương trình.