Question

1) Chứng minh: 2 (a² + b²) \(\ge\) (a + b)².

2) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

3) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:

a² + b² + c² < 2 (ab + bc + ca).

Answer 1

1) 2( a² + b² ) ≥ ( a + b)²

<=> 2a² + 2b² - a² - 2ab - b² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² ≥ 0

<=> ( a - b )² ≥ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :

a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)