1 cho hình chóp S.ABCD đều có SA=AB=a. Góc giữa SA và CD là
2 Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=\(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}\) trên tập hợp D= \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left[1;\frac{3}{2}\right]\) . Tính M+m
A .P=2
B P=0
C P=-\(\sqrt{5}\)
D P = \(\sqrt{3}\)
3 Tập nghiệm của bất phương trình \(\left(\frac{1}{1+a^2}\right)^{2x+1}\) >1 ( với a là tham số , a#0) là
4 Trong ko gian cho tam giác ABC vuông tại A ,AB=a, AC=\(a\sqrt{3}\) . Tính độ dài đường sinh l của hình nón có được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB
5 Viết công thức tính V của vật thể nằm giữa hai mp x=0, x=ln4, biết khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (\(0\le x\le ln4\)), ta được thiết diện là một hình vuông cạnh là \(\sqrt{xe^x}\)
6 cho cấp số cộng có u1=0 và công sai d =3. Tổng của 26 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng bao nhiêu
7 cho khối chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và cạnh đáy 20cm,21cm,29cm. Tính thể tích khối chóp
8 cho hai điểm A(-2;1;2),B(0;-1;1).Phương trình mặt cầu đường kính AB
9 Cho hình lập phương ABCD.\(A^,B^,C^,D^,\) , gÓC giữa hai đường thẳng \(B^,A\) và CD bằng
10 Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= \(\sqrt{2-x^2}-x\) bằng
A \(2+\sqrt{2}\)
B 2
C 1
D \(2-\sqrt{2}\)
11 Số giao điểm của đồ thị hàm số y= \(x^2/x^2-4/\) với đường thẳng y=3 là
12 Tập nghiệm của bất pt \(log_{\frac{1}{3}}\left(x+1\right)>log_3\left(2-x\right)\) là S =(a;b) \(\cup\) (c;d) với a,b,c,d là các số thực. Khi đó a+b+c+d bằng
A 4
B 1
C 3
D 2
13 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh bằng 1 quanh AB
14 trong ko gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :\(\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}\) . MẶT phẳng (P) đi qua điểm M (2;0;-1) và vuông góc vói d có pt là
A x-y+2z=0
B x-2y-2=0
C x+y+2z=0
D x-y-2z=0
Bài 1:
Vì $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông.
$\Rightarrow AB\parallel CD$
$\Rightarrow \angle (SA, CD)=\angle (SA, AB)=\widehat{SAB}$
Lại có:
$SA=SB$ theo tính chất chóp đều
$SA=AB$ (giả thiết)
Do đó $SAB$ là tam giác đều
$\Rightarrow \angle (SA,CD)=\widehat{SAB}=60^0$
Bài 2:
Ta thấy:
$\sqrt{x^2-1}\geq 0; x-2< 0$ với mọi $x\in (-\infty;-1)\cup [1;\frac{3}{2}]$
Do đó $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}\leq 0$
Hay $y_{\max}=0$
Còn $y$ không có min bạn nhé. Bạn xem lại đề.
Bài 3:
Vì $a^2>0$ với mọi $a\neq 0\Rightarrow a^2+1>1, \forall a\neq 0$
$\Rightarrow 0< \frac{1}{a^2+1}< 1$
Do đó:
$(\frac{1}{a^2+1})^{2x+1}>1$
$\Leftrightarrow 2x+1< 0\Leftrightarrow x< \frac{-1}{2}$
Tập nghiệm của BPT là $(-\infty; \frac{-1}{2})$
Bài 4:
Khi quay tam giác $ABC$ xung quanh trục $AB$ ta thu được hình nón có đường sinh là $BC$
Theo định lý Pitago:
$l=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+(\sqrt{3}a)^2}=2a$
Bài 5:
Diện tích thiết diện $S(x)=(\sqrt{xe^x})^2=xe^x$
Thể tích vật thể nằm giữa hai 2 mặt phẳng $x=0; x=\ln 4$ là:
\(V=\int ^{\ln 4}_{0}xe^xdx=e^x(x-1)|^{\ln 4}_{0}=4(\ln 4-1)+1\) (đơn vị thể tích)
Bài 6:
Tổng 26 số hạng đầu tiên của CSC là:
\(\sum_{i=1}^{26} u_{i}=26.u_1+3(1+2+...+25)=26.0+975=975\)
Bài 7:
Nửa chu vi đáy:
$p=\frac{20+21+29}{2}=35$ (cm)
Theo công thức Heron, diện tích đáy của hình chóp là:
\(S=\sqrt{p(p-20)(p-21)(p-29)}=210(cm^2)\)
Thể tích khối chóp là: \(V=\frac{1}{3}h.S_{ABC}=\frac{1}{3}.100.210=7000(cm^3)\)
Bài 8:
Gọi tâm của mặt cầu là $I$ thì \(x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=-1; y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=0; \frac{z_A+z_B}{2}=\frac{3}{2}\)
Bán kính mặt cầu:
\(R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
PT mặt cầu:
$(x-x_I)^2+(y-y_I)^2+(z-z_I)^2=R^2$
hay $(x+1)^2+y^2+(z-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
Bài 9:
Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $ABCD$ là hình vuông
$\Rightarrow AB\parallel CD$
$\Rightarrow \angle (B'A, CD)=\angle (B'A, AB)=\widehat{BAB'}=45^0$ do $ABB'A'$ là hình vuông.
Bài 10
TXĐ: $x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$
Ta có:
\(y'=\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}-1\) không có đạo hàm tại $x=\pm \sqrt{2}$. $y'=0$ khi $x=-1$
Lập BBT ta thấy $y_{\max}=y(-1)=2$
Mặt khác:
$\sqrt{2-x^2}\geq 0, \forall x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$
$x\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow y=\sqrt{2-x^2}-x\geq -\sqrt{2}$ hay $y_{\min}=y(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$
Vậy tổng min và max $y$ là:
$2-\sqrt{2}$ (đáp án D)
Bài 11:
Số giao điểm của 2 ĐTHS là số nghiệm của PT hoành độ giao điểm $x^2|x^2-4|=3$
Với $x^2\geq 4$ thì $|x^2-4|=x^2-4$
PT trở thành: $x^2(x^2-4)-3=0(*)$
$\Leftrightarrow x^4-4x^2-3=0$. Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x^2$ thì ta thấy: \(\left\{\begin{matrix} \Delta'=4+3=7>0\\ P=\frac{4}{1}=4>0\\ S=\frac{-3}{1}< 0\end{matrix}\right.\) do đó PT $(*)$ có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm. Dễ thấy nghiệm $x^2$ dương đó lớn hơn $4$, tương ứng có 2 nghiệm $x$ thỏa mãn
Với $x^2< 4$ thì PT ban đầu trở thành $x^2(4-x^2)=3$
$\Leftrightarrow (x^2-1)(x^2-3)=0$. PT có 2 nghiệm $x^2$ nhỏ hơn 4 nên tương ứng ta có 4 nghiệm $x$ thỏa mãn
Tổng kết lại ta có 6 giao điểm.
Bài 11:
TXĐ: $x\in (-1;2)$
\(\log_{\frac{1}{3}}(x+1)>\log_3(2-x)\Leftrightarrow \log_3(\frac{1}{x+1})>\log_3(2-x)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}> 2-x\Leftrightarrow 1> (x+1)(2-x)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1>0\Leftrightarrow x< \frac{1-\sqrt{5}}{2}\) hoặc $x> \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Kết hợp với TXĐ suy ra:
\(x\in (-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2};2)\)
Vậy $a=-1; b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}; c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}; d=2$
$\Rightarrow a+b+c+d=2$
Đáp án D
Bài 13:
Khi quay tam giác đều ABC quanh cạnh AB thì ta thu được một khối hình là hợp của 2 hình nón (ngược chiều nhau) có cùng bán kính đáy $r$ là đường cao của tam giác đều, tức là $r=\frac{\sqrt{3}}{2}.1=\frac{\sqrt{3}}{2}$ và đường cao là $h=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$
Thể tích 1 hình nón: $V_n=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi}{8}$
Do đó thể tích của khối hình khi quay tam giác đều ABC quanh AB là: $2V_n=\frac{\pi}{4}$
Bài 14:
Vecto chỉ phương của đường thẳng $d$ là: $\overrightarrow{u_d}=(1; -1; 2)$
Mp $(P)$ vuông góc với $d$ nên nhận $\overrightarrow{u_d}$ là vecto pháp tuyến
Do đó PTMP $(P)$ là:
$1(x-x_M)-1(y-y_M)+2(z-z_M)=0$
$\Leftrightarrow x-y+2z=0$
Đáp án A