a, b lẻ => (a - 1)(b - 1) \(⋮\) 4
Đặt: a = (2k - 1)2 ; b = (2k + 1)2
=> (m - 1) = 4k(k - 1) ; (n - 1) = 4k(k +1) (k \(\in\) Z)
=> (m - 1)(n + 1) = 16k2(k - 1)(k + 1)
Mà k(k - 1)(k +1) \(⋮\) 3 (3 số nguyên liên tiếp)
Do k(k +1) và k(k - 1) \(⋮\) 2
=> k2(k + 1)(k - 1) \(⋮\) 12
=> (a - 1)(b - 1) = 16k2(k +1)(k - 1) \(⋮\) 192 khi m, n là số chính phương lẻ liên tiếp
Giải:
Đặt \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}a=\left(2m-1\right)^2=4m^2-4m+1\\b=\left(2m+1\right)^2=4m^2+4m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)=4m\left(m-1\right).4m\left(m+1\right)\)
\(\Rightarrow m\left(m+1\right)⋮2\Rightarrow A⋮4.2.4.2=64\)
\(\Rightarrow m\left(m-1\right)\left(m+1\right)⋮3\)
Mà \(\left(3;64\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮64.3=192\)
Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)⋮192\) (Đpcm)
Giải:
Đặt \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)
\(a=\left(2m-1\right)^2=4m^2-4m+1\)
\(b=\left(2m+1\right)^2=4m^2+4m+1\)
\(\Rightarrow A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)=4m\left(m-1\right)\cdot4m\left(m+1\right)\)
\(m\left(m-1\right)\) và \(m\left(m+1\right)\) đều \(⋮2\) \(\Rightarrow A⋮4\cdot2\cdot4\cdot2=64\)
Vì \(A\subset m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp \(⋮3\).
\(3\) và \(64\) là 2 số nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮64\cdot3=192\left(dpcm\right)\).