1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
1.Cho ba số dương a+b+c=1.Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
2.Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn xy+yz+zx=xyz.Chứng minh rằng:
\(\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{x^3+\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{zx}{y^2+\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)\(\ge\)\(\frac{1}{16}\)
3.Cho hai số thực dương a,b và thỏa mãn 2a +3b \(\le4\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=\(\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b\)
4.Gỉai phương trình : \(\left(x^2-4\right)^3=\left(\sqrt[3]{\left(x^2+4\right)^2}+4\right)^2\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = 3xyz. Chứng minh rằng
\(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Cho a,b,c >0 Chứng minh a, \(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
b, \(\frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{b^3+abc}{c^3+a^3+abc}+\frac{c^3+abc}{a^3+b^3+abc}\ge2\)
Cho x,y,z >0 và \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=3\) Tính GTNN của M = \(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
cho x,y,z là các số thực dương , thỏa mãn : xy+yz+zx=xyz
Chứng minh rằng \(\dfrac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{1}{16}\)
Cho x, y, z là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
a) \(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge\left(xy+yz+zx-1\right)^2\)
b) \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2\)
c) \(\left(x^3+3\right)\left(y^3+3\right)\left(z^3+3\right)\ge4\left(x+y+z+1\right)^2\)
+1GP cho cách chứng minh bằng $\text{C-S}$ hoặc $\text{AM-GM}$ - Hãy thử ngay$!?$
Bài toán. Cho $x,y,z>0.$ Chứng minh: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{r}^{2}+\frac{1}{3}\,{p}^{2}+\frac{2}{3}\,{q}^{2}-\frac{1}{6} Q-\frac{3}{2} r-\frac{2}{3}q-\frac{1}{6}pq-\frac{5}{3} \,pr\geqslant 0$$
với $$\Big[p=x+y+z,q=xy+zx+yz,r=xyz,Q= \left( x-y \right) \left( y-z \right)
\left( z-x \right)\Big ]$$ (Xuất xứ: Sáng tác.)
Một cách chứng minh bằng SOS:
$$\text{VT} = \frac{1}{12}\,\sum \left( 3\,{z}^{2}+1 \right) \left( x-y \right) ^{2}+\frac{1}{6} \sum\,y
\left( y+z \right) \left( x-1 \right) ^{2}+\frac{1}{2}\, \left( xyz-1
\right) ^{2} \geqslant 0$$
Ngoài ra$,$ có cách chứng minh bằng Cauchy Schwarz:D Ai có thể tìm thấy nó$?$
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Bài 1: Cho a,b,c dương
a) Tìm Max \(P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\)
b) Tìm Max \(Q=\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\)
Bài 2: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=\frac{3}{2}\).Chứng minh rằng \(x+2xy+4xyz\le2\)
Bài 3: Cho a,b thỏa mãn \(\left(x+y\right)^3+4xy\ge2\). Tìm Min \(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\)
Bài 4: Cho x,y,z >0: \(x\left(x+y+z\right)=3yz\). Chứng minh: \(\left(x+y\right)^3+\left(x+z\right)^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le5\left(y+z\right)^3\)
Bài 5:Cho a,b,c không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\). CMR: \(a+b+c\le3\)
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z+2=xyz . chứng minh rằng :
x+y+z+6\(\ge2\left(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\right)\)
