\(sinx\in\left[-1;1\right]\) nên từ đồ thị ta thấy hàm \(f\left(sinx\right)\) nghịch biến
Đặt \(f\left(sinx\right)=t\in\left[-3;3\right]\Rightarrow\) ứng với mỗi giá trị t có đúng 1 giá trị \(sinx=k\) tương ứng
\(\Rightarrow\)Mỗi \(t=\pm3\) ứng với đúng 1 nghiệm x \(\left(=\pm\dfrac{\pi}{2}\right)\), mỗi \(\left\{{}\begin{matrix}-3< t< 3\\t\ne0\end{matrix}\right.\) ứng với 2 nghiệm x, \(t=0\) ứng với 3 nghiệm x
Xét \(t^2+\left(m-5\right)t+4=\left(t+m-1\right)\left|t-2\right|\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2+\left(m-1\right)t=\left(t+m-1\right)\left|t-2\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|t-2\right|^2-\left(t+m-1\right)\left|t-2\right|+\left(m-1\right)t=0\)
Đặt \(\left|t-2\right|=u\Rightarrow u^2-\left(t+m-1\right)u+\left(m-1\right)t=0\)
(Để ý rằng \(u_1+u_2=t+m-1\) và \(u_1u_2=t\left(m-1\right)\) nên ta có thể nhẩm nhanh ra 2 nghiệm \(u=t\) và \(u=m-1\) mà ko cần xét \(\Delta\))
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|t-2\right|=t\\\left|t-2\right|=m-1\end{matrix}\right.\)
Phương trình \(\left|t-2\right|=t\) có nghiệm duy nhất \(t=1\Rightarrow f\left(sinx\right)=1\Rightarrow sinx=0\Rightarrow x=\left\{0;2\pi\right\}\) có 2 nghiệm
Xét pt: \(\left|t-2\right|+1=m\) (1)
Do (1) có tối đa 2 nghiệm t, để pt đã cho có 5 nghiệm, (1) cần cho 3 nghiệm x nữa nên ta có các TH sau:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=0\\\left[{}\begin{matrix}t_2=1\\\left|t_2\right|>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(t=0\Rightarrow m=3\Rightarrow\left|t-2\right|=2\Rightarrow t_2=4>3\) (thỏa mãn)
TH2: \(\left[{}\begin{matrix}t_1=3\\\left\{{}\begin{matrix}-3< t_2< 3\\t_2\ne0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=3\\\left\{{}\begin{matrix}-3< t_2< 3\\t_2\ne\left\{0;1\right\}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(t=3\Rightarrow m=2\Rightarrow\left|t-2\right|=1\Rightarrow t_2=1\) (ktm)
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=-3\\\left\{{}\begin{matrix}-3< t_2< 3\\t_2\ne\left\{0;1\right\}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(t=-3\Rightarrow m=6\Rightarrow\left|t-2\right|=5\Rightarrow t_2=7\) (ktm)
Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn \(\left(m=3\right)\)
Nhầm lẫn 1 chút xíu:
\(sinx\in\left[-1;1\right]\Rightarrow f\left(sinx\right)\) nghịch biến hay ứng với mỗi \(f\left(sinx\right)=t\in\left[-3;3\right]\) cho đúng 1 nghiệm \(sinx=k\in\left[-1;1\right]\)
Từ đồ thị ta thấy:
\(t=\pm3\Rightarrow sinx=\pm1\) cho đúng 1 nghiệm x
\(t=1\Rightarrow sinx=0\Rightarrow x=\left\{0;\pi;2\pi\right\}\) cho đúng 3 nghiệm x (đoạn trên đếm thiếu chỗ này dẫn tới phần sau sai hết)
\(\left\{{}\begin{matrix}-3< t< 3\\t\ne1\end{matrix}\right.\) cho đúng 2 nghiệm \(x\)
Xét \(t^2+\left(m-5\right)t+4=\left(t+m-1\right)\left|t-2\right|\)
\(\Leftrightarrow...\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|t-2\right|=t\\\left|t-2\right|=m-1\end{matrix}\right.\)
\(\left|t-2\right|=t\Rightarrow t=1\) (2) cho 3 nghiệm x nên để pt đã cho có 5 nghiệm
\(\Leftrightarrow\left|t-2\right|=m-1\) (3) cho 2 nghiệm x khác nghiệm của (2)
Với \(m< 1\Rightarrow\) (3) vô nghiệm
Với \(m=1\Rightarrow t=2\) cho 2 nghiệm x (thỏa mãn)
Với \(m>1\Rightarrow\) (3) luôn có 2 nghiệm \(t_1;t_2\) phân biệt, 2 nghiệm này sẽ cho 2 nghiệm x thỏa mãn khi:
- \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=3\\t_2=-3\end{matrix}\right.\) ko tồn tại m thỏa mãn
- \(\left\{{}\begin{matrix}t_1=1\\-3< t_2< 3\end{matrix}\right.\) \(t=1\Rightarrow m=2\Rightarrow t_2=3\) (ktm)
- \(\left\{{}\begin{matrix}-3< t_1< 3\\t_2>3\end{matrix}\right.\)
Từ đồ thị \(f\left(t\right)=\left|t-2\right|+1\) ta thấy bài toán thỏa mãn khi \(2< m< 6\)
- \(\left\{{}\begin{matrix}-3< t_1< 3;t_1\ne1\\t_2< -3\end{matrix}\right.\)
Từ đồ thị \(f\left(t\right)=\left|t-2\right|+1\) ta thấy ko tồn tại m thỏa mãn
Vậy \(m=\left\{1;3;4;5\right\}\) có 4 giá trị nguyên (ủa sao ko có đáp án?)