12.
\(M\left(0;2\right)\) ; \(N\left(2;4\right)\) ; \(\overrightarrow{CB}=\left(4;4\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-2;2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}=-2.4+4.2=0\Rightarrow AC\perp BC\)
\(\Rightarrow C\) là hình chiếu vuông góc của A lên BC hay H trùng C
Do MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN||BC\Rightarrow MN\perp AC\)
\(\Rightarrow\Delta HMN\) vuông tại M
\(\Rightarrow\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH nhận trung điểm cạnh huyền NH hay NC là tâm
Gọi I là trung điểm NC \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)
13.
Do I là giao của 2 đường chéo nên I đồng thời là trung điểm của AC và BD
Do I là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=7\\y_C=2y_I-y_A=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(7;3\right)\)
DO B thuộc d nên tọa độ có dạng: \(B\left(b;4-b\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(b-1;3-b\right)\\\overrightarrow{CB}=\left(b-7;1-b\right)\\\end{matrix}\right.\)
\(AB\perp BC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=0\)
\(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(b-7\right)+\left(3-b\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(2b-10\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\b=5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(1;3\right)\\B\left(5;-1\right)\end{matrix}\right.\)
- Với \(B\left(1;3\right)\), do I là trung điểm BD nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=7\\y_D=2y_I-y_B=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(7;1\right)\)
- Với \(B\left(5;-1\right)\) tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=3\\y_D=2y_I-y_B=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(3;5\right)\)