5.10.
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}cosx\ne0\\cos2x\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
\(cos\left(\pi tan2x\right)=cos\left(\pi tanx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\pi tan2x=\pi tanx+k2\pi\\\pi tan2x=-\pi tanx+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tan2x=tanx+2k\\tan2x=-tanx+2k\end{matrix}\right.\)
Đặt \(tanx=t\Rightarrow tan2x=\dfrac{sin2x}{cos2x}=\dfrac{2sinx.cosx}{cos^2x-sin^2x}=\dfrac{2tanx}{1-tan^2x}=\dfrac{2t}{1-t^2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{2t}{1-t^2}=t+2k\\\dfrac{2t}{1-t^2}=-t+2k\end{matrix}\right.\)
Sau khi quy đồng sẽ được 2 pt bậc 3 (luôn luôn có nghiệm) phụ thuộc tham số k
\(\Rightarrow\) Không giải được
5.9
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3\pi.sinx=\pi.sinx+k2\pi\\3\pi.sinx=-\pi.sinx+n2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2sinx=2k\\4sinx=2n\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=k\\sinx=\dfrac{n}{2}\end{matrix}\right.\)
\(-1\le sinx\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le k\le1\\-1\le\dfrac{n}{2}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\left\{-1;0;1\right\}\\n=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow sinx=\left\{-1;-\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2};1\right\}\)
Giờ giải 5 pt này ra lấy nghiệm là được
11.
\(cos\left(\pi\left(a^2+2a-\dfrac{1}{2}\right)\right)=sin\left(\pi a^2\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\pi a^2\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\pi\left(a^2+2a-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\pi a^2+k2\pi\\\pi\left(a^2+2a-\dfrac{1}{2}\right)=\pi a^2-\dfrac{\pi}{2}+n2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2a^2+2a-2k-1=0\left(1\right)\\a=n\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Tới đây biện luận giống bài 7, tìm nghiệm dương nhỏ nhất của (1) và (2) sau đó so sánh và chọn nghiệm nhỏ hơn
14.1
- Với \(m=1\Rightarrow0=0\) pt có vô số nghiệm (thỏa mãn)
- Với \(m\ne1\)
\(\Rightarrow\left(m-1\right)sinx=3\left(m-1\right)\Rightarrow sinx=3>1\left(ktm\right)\)
Vậy \(m=1\)
14.3
\(m=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{5}{2}=0\) (ktm)
Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(2m-1\right)sinx=m-3\Rightarrow sinx=\dfrac{m-3}{2m-1}\)
Do \(0\le x\le\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow0\le sinx\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{m-3}{2m-1}\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{2m-1}\ge0\\\dfrac{m-3}{2m-1}-\dfrac{1}{2}\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{2m-1}\ge0\\\dfrac{-5}{2\left(2m-1\right)}\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge3\)
14.4
- Với \(m=-\dfrac{3}{2}\) không thỏa mãn
- Với \(m\ne-\dfrac{3}{2}\)
\(\left(2m+3\right)cosx=m-1\Rightarrow cosx=\dfrac{m-1}{2m+3}\)
\(0\le x\le\dfrac{2\pi}{3}\Rightarrow-\dfrac{1}{2}\le cosx\le1\) (để xác định miền giá trị của hàm cos trên đoạn này cần vẽ đường tròn lượng giác)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{m-1}{2m+3}\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m-1}{2m+3}+\dfrac{1}{2}\ge0\\\dfrac{m-1}{2m+3}-1\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4m+1}{2\left(2m+3\right)}\ge0\\\dfrac{-m-4}{2m+3}\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{1}{4}\\m< -\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m\le-4\\m>-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{1}{4}\\m\le-4\end{matrix}\right.\)
7.
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\pi x^2=\pi\left(x+1\right)^2+k2\pi\\\pi x^2=-\pi\left(x+1\right)^2+n2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=x^2+2x+1+2k\\x^2=-x^2-2x-1+2n\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-k-\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\2x^2+2x-2n+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), do k nguyên \(\Rightarrow\) nghiệm dương nhỏ nhất của (1) là \(x=\dfrac{1}{2}\) ứng với \(k=-1\) (3)
Xét (2):
\(\Delta'=1-2\left(-2n+1\right)=4n-1\)
(2) có nghiệm khi \(4n-1\ge0\Rightarrow n\ge1\) (do n nguyên)
Khi đó \(-2n+1< 0\Rightarrow2\left(-2n+1\right)< 0\Rightarrow\) (2) có 2 nghiệm trái dấu
Nghiệm dương của (2) là: \(x=\dfrac{-1+\sqrt{4n-1}}{2}\)
Do \(n\ge1\Rightarrow x\ge\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\) (4)
So sánh 2 nghiệm 3 và 4 ta được nghiệm dương nhỏ nhất của pt là \(x=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\)
8.
\(\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{10}\left(3x-\sqrt{9x^2+80x-40}\right)=k2\pi\)
\(\Leftrightarrow3x-\sqrt{9x^2+80x-40}=20k\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{9x^2+80x-40}=3x-20k\)
\(\Rightarrow9x^2+80x-40=9x^2-120kx+400k^2\)
\(\Rightarrow\left(3k+2\right)x=10k^2+1\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{10k^2+1}{3k+2}\) (1)
x nguyên \(\Rightarrow9x\) nguyên \(\Rightarrow\dfrac{90k^2+9}{3k+2}\in Z\Rightarrow30k-20+\dfrac{49}{3k+2}\in Z\)
\(\Rightarrow3k+2=Ư\left(49\right)\)
3k+2 chia 3 dư 2 nên ta chỉ cần xét các ước chia 3 dư 2 của 49
\(\Rightarrow3k+2=\left\{-49;-7;-1\right\}\Rightarrow k=\left\{-17;-3;-1\right\}\)
Thế ngược 3 giá trị của k vào (1) để tính x nguyên, cái nào ra ko nguyên thì loại
