Ôn tập: Phân thức đại số

Thực hiện các phép tính :

a) \(\left(\dfrac{9}{x^3-9x}+\dfrac{1}{x+3}\right):\left(\dfrac{x-3}{x^2+3x}-\dfrac{x}{3x+9}\right)\)

b) \(\left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}\right).\dfrac{x^2+4x+4}{8}\)

c) \(\left(\dfrac{3x}{1-3x}+\dfrac{2x}{3x+1}\right):\dfrac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}\)

d) \(\left(\dfrac{x}{x^2-25}-\dfrac{x-5}{x^2+5x}\right):\dfrac{2x-5}{x^2+5x}+\dfrac{x}{5-x}\)

e) \(\left(\dfrac{x^2+xy}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}+\dfrac{y}{x^2+y^2}\right):\left(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{2xy}{x^3-x^2y+xy^2-y^3}\right)\)

Chứng minh đẳng thức :

a) \(\left(\dfrac{x^2-2x}{2x^2+8}-\dfrac{2x^2}{8-4x+2x^2-x^3}\right)\left(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)=\dfrac{x+1}{2x}\)

b) \(\left[\dfrac{2}{3x}-\dfrac{2}{x+1}\left(\dfrac{x+1}{3}-x-1\right)\right]:\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{2x}{x-1}\)

c) \(\left[\dfrac{2}{\left(x+1\right)^3}.\left(\dfrac{1}{x}+1\right)+\dfrac{1}{x^2+2x+1}\left(\dfrac{1}{x^2}+1\right)\right]:\dfrac{x-1}{x^3}=\dfrac{x}{x-1}\)

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \(\dfrac{x^2-25}{x+1}=0\) khi \(x^2-25=0\) và \(x+1\ne0\) hay \(\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0\) và \(x\ne-1\)

Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \(x=\pm5\)

Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :

a) \(\dfrac{98x^2-2}{x-2}\)

b) \(\dfrac{3x-2}{x^2+2x+1}\)

Tìm điều kiện x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó, biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a) \(\dfrac{x-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x^2+2x+1}{x}-\dfrac{2x+2}{x}}\)
b) \(\dfrac{\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{2x+2}{x-1}-\dfrac{4x}{x^2-1}}\)

c) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\dfrac{x}{x^2-2x+1}-\dfrac{1}{x^2-1}\right)\)

d) \(\left(\dfrac{x}{x^2-36}-\dfrac{x-6}{x^2+6x}\right):\dfrac{2x-6}{x^2+6x}+\dfrac{x}{6-x}\)

Chứng minh rằng :

a) Giá trị của biểu thức :

             \(\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^2:\left[\dfrac{x^2+1}{x^2}+\dfrac{2}{x+1}\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\right]\) bằng 1 với mọi giá trị \(x\ne0;x\ne-1\)

b) Giá trị của biểu thức :

             \(\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x^2+3x}{2x+3}\left(\dfrac{x+3}{x^2-3x}-\dfrac{x}{x^2-9}\right)\) bằng 1 khi \(x\ne0;x\ne-3;x\ne3;x\ne-\dfrac{3}{2}\)

Chú ý nếu \(c>0\) thì \(\left(a+b\right)^2+c\) và \(\left(a-b\right)^2+c\) đều dương với mọi a, b

Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a) Với mọi giá trị x khác \(\pm1\), biểu thức :

              \(\dfrac{x+2}{x-1}.\left(\dfrac{x^3}{2x+2}+1\right)-\dfrac{8x+7}{2x^2-2}\) luôn có giá trị dương

b) Với mọi giá trị của x khác 0 và khác - 3, biểu thức :

             \(\dfrac{1-x^2}{x}.\left(\dfrac{x^2}{x+3}-1\right)+\dfrac{3x^2-14x+3}{x^2+3x}\) luôn có giá trị âm

Chú ý rằng vì \(\left(x+a\right)^2\ge0\) với mọi giá trị của x và \(\left(x+a\right)^2=0\) khi \(x=-a\) nên \(\left(x+a\right)^2+b\ge b\) với mọi giá trị của x và \(\left(x+a\right)^2+b=b\) khi \(x=-a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \(\left(x+a\right)^2+b\) bằng b khi \(x=-a\).

Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức :

               \(\dfrac{x^2}{x-2}\left(\dfrac{x^2+4}{x}-4\right)+3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?

b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:

               \(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x}\left(1-\dfrac{x^2}{x+2}\right)-\dfrac{x^2+6x+4}{x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá lớn nhất ấy ?