Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị

tham khảo.

Từ đồ thị ta dễ dàng thấy được có 4 giá trị trên đoạn \(\left[-2\pi;2\pi\right]\) thỏa mãn điều kiện \(tan\left(x\right)=2\)

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

+ \(\forall \alpha  \in D\) thì \( - \alpha  \in D\)

+ Và \(f( - \alpha ) = 5si{n^2}( - \alpha ) + 1 = 5{( - sin\alpha )^2} + 1 = 5si{n^2}\alpha  + 1 = f(\alpha )\).

Vậy hàm số \(y = 5si{n^2}\alpha  + 1\) là hàm số chẵn.

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

+ \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\)

+ Và \(f( - x) = cos( - x) + sin( - x) = \cos x - \sin x\).

\( \Rightarrow f( - x) \ne f(x),\,f( - x) \ne  - f(x)\).

Vậy hàm số \(y = cosx + sinx\) là hàm không chẵn, không lẻ.

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\)

+ \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\)

+ Và \(f( - x) = tan2( - x) =  - tan2x =  - f(x)\)

Vậy hàm số \(y = tan2x\) là hàm số lẻ.

a, ĐK: \(cos\left(x\right)\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\)

b, ĐK: \(cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ne0\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z\right\}\)

c, ĐK: \(2-sin^2\left(x\right)\ne0\Leftrightarrow sin^2\left(x\right)\ne2\)

Vì \(0\le sin^2\left(x\right)\le1\Rightarrow sin^2\left(x\right)\ne2\forall x\) 

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\)

Ta có: \(-1\le cos\left(x\right)\le1\Rightarrow-2\le2cos\left(x\right)\le2\Rightarrow-1\le2cos\left(x\right)+1\le3\)

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T\left[-1;3\right]\)

Đồ thị của hàm số \(y=sin\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[-\pi;\pi\right]\) là: 

Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng d: \(y=\dfrac{1}{2}\) tại 2 điểm.

Do đó, phương trình \(sin\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\) có hai giá trị \(x\in\left[-\pi;\pi\right]\) thỏa mãn 

a, Do \(-1\le sin\alpha\le1\Rightarrow-0,3\le v_x=0,3sin\alpha\le0,3\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(v_x\) là 0,3m/s và giá trị nhỏ nhất là -0,3m/s

b, Ta có đồ thị hàm số: 

Với góc \(\alpha\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) hoặc \(\alpha\in\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)\) thì \(v_x\) tăng.

a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \). Khi đó tọa độ điểm \(G\left( {3cos\alpha ;{\rm{ }}3sin\alpha } \right)\).

Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: \(3{\rm{ }} + {\rm{ }}3sin\alpha \) (m).

b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi \(3 + 3sin\alpha  = 1,5 \Leftrightarrow sin\alpha {\rm{ }} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].

a, Xét tam giác AHT vuông tại H, ta có: 

\(cot\alpha=\dfrac{TH}{AH}\Rightarrow TH=AH\cdot cot\alpha=500\cdot cot\alpha\)

Vậy trên trục \(T_x\) tọa độ \(x_H=500\cdot cot\alpha\)

b, Ta có đồ thị của hàm số \(y=cot\alpha\) trong khoảng \(\dfrac{\pi}{6}< \alpha< \dfrac{2\pi}{3}\)

Khi đó:

 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}< cot\alpha< \dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow-\dfrac{500}{\sqrt{3}}< 500\cdot cot\alpha< \dfrac{500}{\sqrt{3}}\\ \Leftrightarrow-\dfrac{500}{\sqrt{3}}< x_H< \dfrac{500}{\sqrt{3}}\\ \Leftrightarrow-288,7< x_H< 866\)

Vậy \(x\in\left\{-288,7;866\right\}\)