Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp

Theo Hình 13 thì góc có đỉnh nằm trên đường tròn là: \(\widehat {AMB}\).

Các góc nội tiếp của đường tròn tâm I là \(\widehat {NMP};\widehat {MPN};\widehat {PNM}\)

Vì tam giác MNP đều nên \(\widehat {NMP} = \widehat {MPN} = \widehat {PNM} = {60^o}\).

Có vô số góc nội tiếp chắn cung EF vì với mỗi một điểm khác E và F nằm trên đường tròn (O) ta có một góc nội tiếp.

a) Ta có sđ\(\overset\frown{AB}\) bị chắn bởi góc ở tâm \(\widehat {AOB}\) có số đo bằng 60^o suy ra sđ\(\overset\frown{AB}\) = 60^o.

b) Dùng thức đo ta được \(\widehat {AMB}\)= 30^o .

c) số đo của \(\widehat {AMB}\) = \(\frac{1}{2}\)sđ\(\overset\frown{AB}\).

a) Ta có \(\widehat {BCA}\) và \(\widehat {AOB}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB

suy ra \(\widehat {BCA}\) = \(\frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{{{50}^o}}}{2} = {25^o}\)

Ta có \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {BOC}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC

suy ra \(\widehat {BAC}\) = \(\frac{{\widehat {BOC}}}{2} = \frac{{{{30}^o}}}{2} = {15^o}\)

b) Ta có sđ \(\overset\frown{AB}\) = 50^o ( bằng sđ của góc \(\widehat{AOB}\) cùng chắn \(\overset\frown{AB}\))

suy ra sđ \(\overset\frown{AM}=\)sđ \(\overset\frown{MB}\) = \(\frac{sđ\overset\frown{AB}}{2}=\frac{{{50}^{o}}}{2}={{25}^{o}}\) hay \(\widehat{MOA}=\widehat{MOB}={{25}^{o}}\)

Ta có \(\widehat {MBA}\) và \(\widehat {MOA}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MA

suy ra \(\widehat {MBA}\) = \(\frac{{\widehat {MOA}}}{2} = \frac{{{{25}^o}}}{2} = 12,{5^o}\).

Ta có sđ \(\overset\frown{BC}\) = 30^o ( bằng sđ của góc \(\widehat{BOC}\) cùng chắn \(\overset\frown{BC}\))

suy ra sđ \(\overset\frown{BN}=\)sđ \(\overset\frown{NC}\) = \(\frac{sđ\overset\frown{BC}}{2}=\frac{{{30}^{o}}}{2}={{15}^{o}}\) hay \(\widehat{BON}=\widehat{CON}={{15}^{o}}\)

Ta có \(\widehat {BAN}\) và \(\widehat {BON}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BN

suy ra \(\widehat {BAN}\) = \(\frac{{\widehat {BON}}}{2} = \frac{{{{15}^o}}}{2} = 7,{5^o}\).

Ta có \(\widehat {MXN};\widehat {MYN};\widehat {MZN}\) cùng chắn cung MN suy ra \(\widehat {MXN} = \widehat {MYN} = \widehat {MZN}\).

Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến tại A và B nên \(MA \bot OA\) và \(MB \bot OB\)

Xét tam giác MAO vuông tại A, ta có:

\({\rm{cos}}\widehat {MOA} = \frac{{AO}}{{MO}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(\widehat {MOA}\)= 60^o

Vì MA và MN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc AOB.

Suy ra \(\widehat {AOB} = 2\widehat {MOA} = 2.{60^o} = {120^o}\)

Gọi O là tâm đường tròn đường kính BC.

Ta có OB = OD (= R)

Vậy tam giác BOD cân tại O

Mà \(\widehat {DBO}\)= 60^o nên tam giác BOD đều

Suy ra \(\widehat {DOB}\)= 60^o

OE = DC (= R)

Vậy tam giác EOC cân tại O

Mà \(\widehat {ECO}\)= 60^o nên tam giác EOC đều

Suy ra \(\widehat {EOC}\)= 60^o

Ta có \(\widehat {BOD} + \widehat {DOE} + \widehat {EOC} = {180^o}\)

Suy ra 60^o + \(\widehat {DOE} + {60^o} = {180^o}\) nên \(\widehat {DOE} = {60^o}\)

Vì \(\widehat {BOD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOC} = {60^o}\) nên sđ\(\overset\frown{BD}\) = sđ\(\overset\frown{BE}\) = sđ\(\overset\frown{EC}={{60}^{o}}\)

Vậy \(\overset\frown{BD}=\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}\)

a) Gọi \(\overset\frown{AnB}\) là cung nhỏ và \(\overset\frown{AmB}\) là cung lớn có sđ\(\overset\frown{AmB}\) = 3sđ\(\overset\frown{AnB}\) (gt)

Mà sđ\(\overset\frown{AmB}\) + sđ\(\overset\frown{AnB}\) = 360^o

Do đó 4sđ\(\overset\frown{AnB}\) = 360^o

sđ\(\overset\frown{AnB}\) = 360^o: 4 = 90^o

Vậy sđ\(\overset\frown{AmB}\) = 3sđ\(\overset\frown{AnB}\) = 3. 90^o = 270^o .

b) Ta có \(\widehat {AOB}\)= sđ\(\overset\frown{AnB}\) (góc ở tâm chắn cung AB)

suy ra \(\widehat {AOB}\)= 90^o suy ra tam giác AOB vuông tại O.

Mà AO = OB = R nên tam giác AOB vuông cân tại O.

Khi đó OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OH = \(\frac{{AB}}{2}\).

Góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là:

360^o: 12 = 30^o

a) Vào thời điểm 2 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là:

2. 30^o = 60^o

b) Vào thời điểm 8 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là:

(12 - 8). 30^o = 4. 30^o = 120^o

c) Vào thời điểm 21 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là:

(24 - 21). 30^o = 3. 30^o = 90^o