Bài 1: Tính đơn diệu và cực trị của hàm số

a) Hàm số y = f (x) có:

x = 1 là điểm cực đại vì f (x) < f(1) với mọi \(x \in \left( {0;{\rm{  + }}\infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

x = 0 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(0) với mọi \(x \in \left( { + \infty ;{\rm{ 1}}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

b) Tại x = 1, hàm số không có đạo hàm vì đồ thị bị gấp khúc

c)

Nhận xét: Khi đi qua các điểm cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

\(g'(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = -3, \({y_{ct}} = f( - 3) =  - 5\), đạt cực đại tại x = 1, \({y_{cd}} = f(1) = 3\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(f'(x) = 3 - \cos x\)

Ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2 \le 3 - \cos x \le 4\). Vì vậy \(f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

=> Hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hàm số y = f (x) có:

x = 5 là điểm cực đại vì f (x) < f(5) với mọi \(x \in \left( {3;{\rm{ 7}}} \right)\backslash \left\{ 5 \right\}\), \({y_{cd}} = f(5) = 5\)

x = 3 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(3) với mọi \(x \in \left( {1;{\rm{ 5}}} \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\), \({y_{ct}} = f(3) = 2\)

x=7 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(7) với mọi \(x \in \left( {5;{\rm{ 9}}} \right)\backslash \left\{ 7 \right\}\), \({y_{ct}} = f(7) = 1\)

\(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(h'(t) = 18{t^2} - 162t + 324\)

\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 6\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m

Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút

Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút

a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(f'(x) = 3{x^2} - 12x + 9\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) đồng biến trên các khoảng (\( - \infty \); 1) và (3; \( + \infty \)), nghịch biến trên khoảng (1; 3)

b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

\(g'(x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Vì \({x^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên các khoảng (\( - \infty \); 0) và (0; \( + \infty \))

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; \( + \infty \))

Hàm số nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 0)

b) f '(x) = (\({x^2}\))' = 2x

Ta có:

f '(x) > 0 \( \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)

f '(x) < 0 \( \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

c) Nhận xét:

f’(x) > 0 trên K thì y = f(x) đồng biến trên K

f’(x) < 0 trên K thì y = f(x) nghịch biến trên K

a) Trên khoảng (-1; 2), f(x) < f(0) với mọi \(x \ne 0\)

b) Trên khoảng (0; 3), f(x) > f(2) với mọi \(x \ne 2\)

c) Không tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi \(x \ne 1\) hoặc f(x) < f(1) với mọi \(x \ne 1\)