1) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)(cm)

BH \(=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{5}\)(cm)

\(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{16}{5}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12}{5}\left(cm\right)\)

2) a) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được điều phải chứng minh.

b)Chứng minh tương tự câu a), ta được:

AF.FC=HF^2

Lại có:

Tứ giác AFHE có 3 góc vuông nên từ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra, HF = AE

Suy ra, AF.FC=AE^2

Mà AE.EB=HE^2

Nên AF.FC+AE.EB=AE^2+HE^2=AH^2(đpcm)

3) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác, ta được:

\(BE=\cos B.BH=\cos B.\left(\cos B.AB\right)=\cos^2B.AB=\cos^2B.\left(\cos B.BC\right)=\cos^3.BC\left(đpcm\right)\)

Để đường thẳng y = (2m-1)x + m + 1 cắt đường thẳng y = x-2 tại 1 điểm có hoành độ bằng 1 thì m thỏa mãn:

2m - 1 + m + 1 = -1

suy ra 3m = -1

suy ra m = -1/3

Vậy m = -1/3.

\(\left(\sqrt{18}+\sqrt{20}-\sqrt{8}\right)\sqrt{2}-2\sqrt{10}\\ =\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}-2\sqrt{10}\\ =6+2\sqrt{10}-4-2\sqrt{10}=2\)

1)ĐKXĐ: \(-4\le x\le1\)

\(\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=1\\ \Rightarrow\sqrt{x+4}=\sqrt{1-x}+1\\ \Rightarrow x+4=1-x+2\sqrt{1-x}+1\\ \Rightarrow2x+2=2\sqrt{1-x}\\ \Rightarrow x+1=\sqrt{1-x}\\ \Rightarrow x^2+2x+1=1-x\\ \Rightarrow x^2+3x=0\\ \Rightarrow x\left(x+3\right)=0\\ \Rightarrow x=-3\)

Vậy x = -3

2)ĐKXĐ: \(-\sqrt{10}\le x\le\sqrt{10}\)

Với x = -3 thì:

0=0(luôn đúng)

Với x khác -3 thì:

\(\left(x+3\right)\sqrt{10-x^2}=x^2-x+12\\ \Rightarrow\left(x+3\right)\sqrt{10-x^2}=\left(x+3\right)\left(x-4\right)\\ \Rightarrow\sqrt{10-x^2}=x-4\\ \Rightarrow10-x^2=x^2-8x+16\\ \Rightarrow2x^2-8x+6=0\\ \Rightarrow x^2-4x+3=0\\ \Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\\ \Rightarrow x\in\left\{1;3\right\}\)

Vậy x\(\in\left\{-3;1;3\right\}\)

Thay x = 6 và y = 1 vào hàm số y = ax-2, ta được:

1=6a-2

\(\Rightarrow6a=3\\ \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

Vậy hệ số a là 1/2

Bạn tự vẽ hình nha.

Vì đường thẳng d lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B nên A\(\left(\dfrac{-4}{m^2-2m+2};0\right)\); B\(\left(0;4\right)\)

Suy ra OA = \(\dfrac{4}{m^2-2m+2}\); OB = 4

ĐỂ diện tích tam giác AOB lớn nhất thì :

\(\dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{m^2-2m+2}.4=\dfrac{8}{m^2-2m+2}\)lớn nhất

Hay \(m^2-2m+2\) nhỏ nhất.

Lại có:

\(m^2-2m+2\) = \(\left(m-1\right)^2+1\ge1\forall m\)

Nên GTNN của \(m^2-2m+2\) là 1

suy ra GTLN Saob là 8 khi và chỉ khi m = 1.

Vậy khi m = 1 thì diên tích tam giác AOB đạt giá trị lớn nhất là 8.

b) \(x-4=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\)

c) \(x-2\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)

\(2\sqrt{x}-1=\sqrt{4}\\ \Rightarrow2\sqrt{x}-1=2\\ \Rightarrow2\sqrt{x}=3\\ \Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow x=\dfrac{9}{4}\)

Vậy x = 9/4

Từ F kẻ tia Fc cùng mặt phẳng bờ EF chứa tia EA và song song với tia EA.

Ta có:

Vì Ea//Fc nên góc aEF + góc cFE = \(180^0\)(hai góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\)\(105^0\)+ góc cFE = \(180^0\)

\(\Rightarrow\)góc cFE = \(75^0\)

Vì Fc // Gb nên góc cFG = góc bGF = \(15^0\)

Lại có:

góc EFG = góc cFE + góc cFG = \(75^0+15^0=90^0\)

Hay EF \(\perp\)FG(đpcm)

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông , ta được:

BH = AH.cotB=300.cot\(27^0\)\(\approx\)589(m)

CH = AH.cotC=300.cot\(25^0\)\(\approx\)643(m)

Ta có:

BC = BH + CH \(\approx\) 589 + 643 = 1232(m)

Vậy khoảng cách BC giữa hai người đó là 1232m.