Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADC vuông tại D, ta được:

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

\(OA=\dfrac{AD^2}{AC}=\dfrac{144}{20}=\dfrac{36}{5}\left(cm\right)\\ OC=\dfrac{CD^2}{AC}=\dfrac{256}{20}=\dfrac{64}{5}\left(cm\right)\\ OD=\dfrac{AD\cdot CD}{AC}=\dfrac{12\cdot16}{20}=\dfrac{48}{5}\left(cm\right)\)

Vì AB//CD nên \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

Suy ra, \(OB\cdot\dfrac{5}{48}=\dfrac{36}{5}\cdot\dfrac{5}{64}=\dfrac{9}{16}\\ \Rightarrow OB=\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{48}{5}=\dfrac{27}{5}\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; AC = 4cm và đường cao AH.

Ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác, ta được:
\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{5}\left(cm\right)\\ CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{16}{5}\left(cm\right)\)

\(\sqrt{12}+2\sqrt{27}+3\sqrt{75}-9\sqrt{48}\\ =2\sqrt{3}+6\sqrt{3}+15\sqrt{3}-36\sqrt{3}=-13\sqrt{3}\)

Gọi cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là a(m)(a>0)

Theo đề ra, ta có:

\(a^2+\left(a+1\right)^2=25\\ \Rightarrow a^2+a^2+2a+1=25\\ \Rightarrow2a^2+2a=24\\ \Rightarrow a\left(a+1\right)=12=3.4\\ \Rightarrow a=3\)

Chu vi tam giác đó là:

3 + 3 + 1 + 5 = 12(m)

Diện tích của hình chữ nhật là:

10.8,1=81(m^2)

Vì điện tích của hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên điện tích hình vuông là 81(m^2)

Suy ra cạnh của hình vuông đó là 9(m)

Chiều cao của tháp là:

\(tan40^0\cdot20\approx17\left(m\right)\)

a) Xét tứ giác AHIK có:

\(\widehat{AKI}+\widehat{AHI}=90^0+90^0=180^0\)

Nên tứ giác AHIK nội tiếp được trong một đường tròn(đpcm)

b) Vì CI vuông góc với AB(I là trực tâm tam giác ABC) và BD vuông góc với AB(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CI // BD.

VÌ BI vuông góc với AC(I là trực tâm tam giác ABC) và CD vuông góc với AC(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BI // CD.

Xét tứ giác BICD có:

CI // BD; BI // CD

Nên tứ giác BICD là hình bình hành.

Suy ra, BC và DI cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đoạn.

Xét tam giác AID có:

O là trung điểm của AD và M là trung điểm của DI nên OM là đường trung bình của tam giác AID.

Suy ra, AI // OM. Mà AI vuông góc với BC(do I là trực tâm tam giác ABC) nên OM vuông góc với BC(đpcm).

a)

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}\\ =\sqrt{5+2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+3}-\sqrt{5+2\sqrt{5}\cdot\sqrt{1}+1}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2}\\ =\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{1}\\ =\sqrt{3}-\sqrt{1}\)

b)

\(\sqrt{17-2\sqrt{72}}+\sqrt{19+2\sqrt{18}}\\ =\sqrt{9-2\sqrt{9}\cdot\sqrt{8}+8}+\sqrt{18+2\sqrt{18}\cdot\sqrt{1}+1}\\ =\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(3\sqrt{2}+1\right)^2}\\ =3-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+1\\ =4+\sqrt{2}\)

c)

\(\sqrt{12-2\sqrt{32}}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}\\ =\sqrt{8-2\sqrt{8}\cdot\sqrt{4}+4}+\sqrt{8+2\sqrt{8}\cdot\sqrt{1}+1}\\ =\sqrt{\left(2\sqrt{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(2\sqrt{2}+1\right)^2}\\ =2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}+1\\ =4\sqrt{2}-1\)

a) Xét tam giác ABC có:

\(AC^2+BC^2=225+64=289=AB^2\)

Nên tam giác ABC vuông tại A.

b) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

\(CK=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{15\cdot8}{17}=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\\BK=\dfrac{BC^2}{AB}=\dfrac{64}{17}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta được:

\(\sin B=\dfrac{CK}{BC}=\dfrac{15}{17}\\ \Rightarrow\widehat{B}\approx62^0\)

\(\sin C=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{8}{17}\\ \Rightarrow\widehat{C}\approx28^0\)

Vì đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B nên A(4;0) và B(0;3).

Suy ra, OA = 4; OB = 3

Suy ra diện tích tam giác AOB là:

\(\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot3=6\)