`a+ble1<=>(a+b)^2le1`

Áp dụng bđt `1/(a)+1/bge4/(a+b)` ta có:

`Age4/(a^2+2ab+b^2)=4/(a+b)^2=4/1=4`

Dấu `=` xảy ra khi:`a^2+b^2=2ab<=>(a-b)^2=0<=>a=b` và `a+b=1`

`<=>a=b=1/2`

Vậy GTNN của `A=4` khi và chỉ khi `a=b=1/2` 

Giả sử `a^2+b^2+c^2+3ge2.(a+b+c)`

`<=>a^2+b^2+c^2+3ge2a+2b+2c`

`<=>a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2cge0`

`<=>(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)ge0`

`<=>(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2ge0(text{luôn đúng})`

Dấu `=` xảy ra khi:`a=b=c=1`

`(x+1)/2021+(x+2)/2020=(x+2019)/3+(x+2018)/4`

`<=>(x+1+2021)/2021+(x+2+2020)/2020-(x+2019+3)/3-(x+2018+4)/4=0`

`<=>(x+2022)/2021+(x+2022)/2020-(x+2022)/3-(x+2022)/4=0`

`<=>(x+2022).(1/2021+1/2020-1/3-1/4)=0`

`<=>x+2022=0`

`<=>x=-2022`

Vậy `S={-2022}`

Chọn `A.S+O_2->SO_2`

Bài `1:`

`a)`

Để `P` có nghĩa thì:

`{(x^2-1\ne0),(x+1\ne0),(x-1\ne0):}`

`<=>x\ne+-1`

`b)`

`P=(2x^2)/(x^2-1)+x/(x+1)-x/(x-1)(x\ne+-1)`

`P=(2x^2)/((x-1)(x+1))+(x.(x-1))/((x+1)(x-1))-(x.(x+1))/((x-1)(x+1))`

`P=(2x^2+x^2-x-x^2-x)/((x-1)(x+1))`

`P=(2x^2-2x)/((x-1)(x+1))`

`P=(2x.(x-1))/((x-1)(x+1))=2x/(x+1)`

`c)`

Với `x=2`

`P=(2.2)/(2+1)=4/3`

`a^2+b^2+1geab+a+b`

Áp dụng BĐT cauchy cho hai số dương `a^2;b^2` ta có:

`a^2+b^2ge2sqrt{a^2b^2}=2ab`

Tương tự đối với `b^2;1` và `a^2;1`

`b^2+1ge2sqrt{b^2 . 1}=2b`

`a^2+1ge2sqrt{a^2 . 1}=2a`

`<=>a^2+b^2+b^2+1+a^2+1ge2ab+2b+2a`

`<=>2.(a^2+b^2+1)ge2.(ab+b+a)`

`<=>a^2+b^2+1geab+b+a(ĐPCM)`

Dấu `=` xảy ra khi:`a=b=1`

`(x+2)/(x-2)-(x-2)/(x+2)=8/(x^2-4)(x\ne+-2)`

`<=>(x+2)^2/((x-2)(x+2))-(x-2)^2/((x-2)(x+2))-8/((x-2)(x+2))=0`

`<=>(x^2+4x+4-x^2+4x-4-8)/((x-2)(x+2))=0`

`<=>(8x-8)/((x-2)(x+2))=0`

`=>8x-8=0<=>x=1`

Vậy `S={1}`

Số học sinh đạt giải nhất:`50xx1/2=25(text{học sinh})`

Số học sinh đạt giải nhì:`25xx80%=20(text{học sinh})`

Số học sinh đạt giải ba:`50-25-20=5(text{học sinh})`

`a)`

Để `M` có nghĩa thì:

`x+2\ne0`

`<=>x\ne-2`

Vậy `x\ne-2` thì `M` có nghĩa

`b)`

`M=4`

`<=>(3x+9)/(x+2)=4`

`=>4x+8=3x+9`

`<=>4x-3x=9-8`

`<=>x=1`

Vậy `x=1` thì `M=4`

`c)`

`M\inZZ<=>(3x+9)/(x+2)\inZZ`

`=>3x+9\vdotsx+2`

`=>3x+6+3\vdotsx+2`

`=>3.(x+2)+3\vdotsx+2`

`=>x+2\in Ư(3)={+-1;+-3}`

Ta có bảng:

$\begin{array}{|c|c|}\hline x+2&1&-1&3&-3\\\hline x&-1&-3&1&-5\\\hline\end{array}$

Vậy `x\in{-1;-3;1;-5}` thì `M\inZZ`

`A=7+7^2+7^3+...+7^119+7^120`

`A=(7+7^2+7^3)+(7^4+7^5+7^6)+...+(7^118+7^119+7^120)`

`A=7.(1+7+7^2)+7^4 . (1+7+7^2)+...+7^118.(1+7+7^2)`

`A=7.57+7^4 . 57+...+7^118 . 57`

`A=57.(7+7^4+...+7^118)\vdots57`

Vậy `A\vdots57`