Tính \(\lim\limits\left(\dfrac{1+3+5+...+2n-1}{n+1}-\dfrac{2n+1}{2}\right)\).
\(\dfrac{3}{2}\).\(1\).\(-1\).\(-\dfrac{3}{2}\).Hướng dẫn giải:Vì \(1+3+5+...+2n-1\) là tổng các số hạng của một cấp số cộng có \(n\) số hạng với \(u_1=1,u_n=2n-1,d=2\) nên
\(1+3+5+...+2n-1=\dfrac{\left(1+2n-1\right)n}{2}=n^2\) suy ra \(\left(\dfrac{1+3+5+...+2n-1}{n+1}-\dfrac{2n+1}{2}\right)=\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{2n+1}{2}=\dfrac{-3n-1}{2\left(n+1\right)}\) \(=\left(-3-\dfrac{1}{n}\right):\left(2+\dfrac{2}{n}\right)\). Do đó
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\dfrac{1+3+5+...+2n-1}{n+1}-\dfrac{2n+1}{2}\right)\)\(=-\dfrac{3}{2}.\)
