Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2x+7}+x-4}{x^3-4x^2+3}\) .
\(\dfrac{4}{15}\).\(\dfrac{2}{5}\).\(-\dfrac{4}{15}\).\(-\dfrac{2}{5}\).Hướng dẫn giải:Giới hạn cần tính có dạng \(\frac{0}{0}.\) Ta có \(x^3-4x^2+3=x^3-1-4\left(x^2-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-3x-3\right)\) và
\(\sqrt{2x+7}+x-4=\left(\sqrt{2x+7}-3\right)+\left(x-1\right)=\frac{\left(2x+7\right)-9}{\sqrt{2x+7}+3}+\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2x+7}+3}+1\right)\)
Hàm số cần tính giới hạn có thể được viết lại thành \(\varphi\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-3x-3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x+7}+3}+1\right)\) nên giới hạn cần tính bằng \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\varphi\left(x\right)=\varphi\left(1\right)=-\frac{4}{15}.\)
