Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\dfrac{x^2+3}{x-1}\) trên đoạn [2;4]?
\(\min\limits_{\left[2;4\right]}y=6\).\(\min\limits_{\left[2;4\right]}y=-2\).\(\min\limits_{\left[2;4\right]}y=3\).\(\min\limits_{\left[2;4\right]}y=\dfrac{19}{3}\).Hướng dẫn giải:\(y=\dfrac{x^2+3}{x-1}=\dfrac{x^2-x+x-1+4}{x-1}=x+1+\dfrac{4}{x-1}\)
Tập xác định: \(x\ne1\)
Ta có:
\(y'=1-\dfrac{4}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{\left(x-1\right)^2-4}{\left(x-1\right)^2}\);
\(y'=0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-4}{\left(x-1\right)^2}=0\Leftrightarrow x=3;x=-1\)
Trong khoảng \(\left(2;4\right)\) , phương trình \(y'=0\) chỉ có 1 nghiệm \(x=3.\) So sánh 3 giá trị \(y\left(2\right),y\left(3\right),y\left(4\right)\) ta thấy số nhỏ nhất là \(y\left(3\right)=6.\) Do đó \(min_{\left[2;4\right]}y=\dfrac{3^2+3}{3-1}=6.\)
