Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=3x+\dfrac{4}{x^2}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)?
\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =3\sqrt[3]{9}\).\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =7\).\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =\dfrac{{33}}{5}\).\(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =2\sqrt[3]{9}\).Hướng dẫn giải:Cách 1: Theo bất đẳng thức Côsi ta có \(y=3x+\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{3x}{2}+\dfrac{3x}{2}+\dfrac{4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{3x}{2}.\dfrac{3x}{2}.\dfrac{4}{x^2}}=3\sqrt[3]{9}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{3x}{2}=\dfrac{4}{x^2}\Leftrightarrow x^3=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =3\sqrt[3]{9}\).
Cách 2: \(y=3x+\dfrac{4}{x^2}\Rightarrow y'=3+\dfrac{4.\left(-2\right)}{x^3}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\in\left(0;+\infty\right).\)
\(y\left(\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\right)=3\sqrt[3]{9};\lim\limits_{x\rightarrow0^+}y=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty.\) Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} y =3\sqrt[3]{9}\).
