Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số \(y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) trên tập xác định \(\mathbb{R}.\)
\(\max\limits_Ry=\dfrac{1}{3}\).\(\max\limits_Ry=1\).\(\max\limits_Ry=3\).Hàm số không có giá trị lớn nhất.Hướng dẫn giải:Cách 1: Tam thức mẫu số có \(\Delta< 0\) nên mẫu số luôn khác \(0\), suy ra hàm số luôn xác định.
Ta có: \(y'=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2-x+1\right)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\pm1.\) Mặt khác
\(y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\), suy ra \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y=1\).
Lại có \(y\left(-1\right)=\dfrac{1}{3},y\left(1\right)=3\), suy ra \(\max y=3.\)
Cách 2: Do \(x^2-x+1\ne0,\forall x\) nên có thể biến đổi phương trình (ẩn \(x\)) như sau
\(y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow y\left(x^2-x+1\right)=x^2+x+1\Leftrightarrow\left(y-1\right)x^2-\left(y+1\right)x+\left(y-1\right)=0\)(1)
\(y\) sẽ là một giá trị của hàm số đã cho khi và chỉ khi phưong trình (1) có nghiệm:
\(\Delta=\left(y+1\right)^2-4\left(y-1\right)^2=\left(3y-1\right)\left(3-y\right)\ge0\Leftrightarrow y\in\left[\dfrac{1}{3};3\right].\)
Từ đó tập giá trị của hàm số là \(\left[\dfrac{1}{3};3\right],\) suy ra GTLN\(=3.\)
