Kí hiệu \(S_1,S_2,S_3\) lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng 1 đơn vị dài), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng 1 đơn vị dài), hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=2\sqrt{1-x^2},y=2\left(1-x\right)\). Tỉ số \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\) bằng
\(\frac{1}{3}\). \(\frac{1}{4}\). \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{5}\). Hướng dẫn giải:Ta tính \(S_3\) như sau:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn:
\(2\sqrt{1-x^2}=2\left(1-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x\ge0\\1-x^2=\left(1-x\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=0;x=1\)
Suy ra
\(S_3=\int\limits^1_0\left|2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right|\text{dx}=\left|2\int\limits^1_0\left(\sqrt{1-x^2}-1+x\right)\text{dx}\right|\)
(Chú ý ta đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài được vì biểu thức dưới dấu tích phân không đổi dấu trên đoạn [0;1].)
\(S_3=2\left|\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}dx-\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)|^1_0\right|\)
\(=2\left|\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}\text{dx}-\dfrac{1}{2}\right|\)
Đặt \(x=\sin t\) \(\Rightarrow\text{dx}=\cos t\text{dt}\),
Đổi cận: \(x|^1_0\Rightarrow t|^{\dfrac{\pi}{2}}_0\)
Ta có
\(\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sqrt{1-\sin^2t}\cos t\text{dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^2t\text{dt}\)
\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{1+\cos2t}{2}\text{dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(1+\cos2t\right)\text{dt}=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{2}\sin2t\right)|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{4}\)
Suy ra
\(S_3=2\left|\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{\pi}{2}-1\)
Tỉ số:
\(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}=\dfrac{1+\dfrac{\pi}{2}-1}{\pi.1^2}=\dfrac{1}{2}\).
