Gọi S là số đo của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=2x^2+3x+1\) và parabol \(y=x^2-x-2\). Giá trị \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)\) bằng
\(0\). \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Hướng dẫn giải:Hoành độ giao điểm của hao parabol là nghiệm phương trình:
\(2x^2+3x+1=x^2-x-2\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol là:
\(S=\int\limits^{-1}_{-3}\left|\left(2x^2+3x+1\right)-\left(x^2-x-2\right)\right|\text{dx}=\int\limits^{-1}_{-3}\left|x^2+4x+3\right|\text{dx}\)
Trên đoạn [-3; -1] biểu thức \(x^2+4x+3\le0\) (theo qui tắc ngoài khoảng 2 nghiệm thì dương và trong khoảng 2 nghiệm thì âm).
Vậy \(S=\int\limits^{-1}_{-3}\left(-x^2-4x-3\right)\text{dx}=\left(-\dfrac{x^3}{3}-2x^2-3x\right)|^{-1}_{-3}=\dfrac{4}{3}\)
Suy ra \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
