Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x\ln x,y=0,x=e\) bằng
\(\dfrac{e^2-1}{4}\). \(\dfrac{e^2+1}{4}\). \(\dfrac{e^2}{4}\). \(\dfrac{1}{4}\). Hướng dẫn giải:
Miền xác định của đồ thị \(y=x\ln x\) là \(x>0\).
Đồ thị \(y=x\ln x\) cắt đồ thị \(y=0\) tại điểm có hoành độ thỏa mãn:
\(x\ln x=0\Leftrightarrow x=1\).
Vậy Hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng \(y=x\ln x\), trục hoành (y=0), \(x=1,x=e\). Diện tích hình phằng bằng:
\(S=\int\limits^e_1\left|x\ln x\right|\text{dx}=\left|\int\limits^e_1x\ln x\text{dx}\right|\)
Tính tích phân trên bằng phương pháp tích phân từng phần.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(S=\left|\dfrac{x^2}{2}\ln x|^e_1-\int\limits^e_1\dfrac{1}{x}.\dfrac{x^2}{2}\text{dx}\right|=\left|\dfrac{x^2\ln x}{2}|^e_1-\dfrac{1}{2}\int\limits^e_1x\text{dx}\right|\)
\(=\left(\dfrac{x^2\ln x}{2}-\dfrac{1}{4}x^2\right)|^e_1=\dfrac{e^2+1}{4}\).
