Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều và \(SA=3a\left(a>0\right)\). \(SA\) tạo với đáy \(\left(ABC\right)\) một góc bằng \(60^0\). Tính thể tích của hình chóp \(S.ABC\) theo a.
\(V=\dfrac{\sqrt{3}}{12}a^3\).\(V=\dfrac{324}{12}a^3\).\(V=\dfrac{2\sqrt{13}}{12}a^3\).\(V=\dfrac{81}{32}a^3\).Hướng dẫn giải:Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.
Do tam giác ABC đều nên \(AG=\dfrac{2}{3}AD\) và \(SG\perp\left(ABC\right).\)
Từ đó suy ra \(AG=SA.cos60^o=\dfrac{3a}{2};SG=SA.sin60^o=\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}\)
\(\Rightarrow AD=\dfrac{3}{2}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{9a}{4}\Rightarrow\) Độ dài cạnh tam giác đều ABC là \(\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}.\dfrac{9a}{4}=\dfrac{27\sqrt{3}a^2}{16}\)
Vậy \(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{27\sqrt{3}a^2}{16}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}=\dfrac{81a^3}{32}\left(đvtt\right)\)
