Cho hàm số \(F\left(x\right)\) có \(F'\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{x-1}+C\).\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2x-1}+C\).\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x-1}+C\).\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{C}{2x-1}\).Hướng dẫnThực chất bài toán là tìm các nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\) . Ta có
\(\int\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}\text{d}x=\int\dfrac{\text{d}\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2}=-\dfrac{1}{2x-1}+C\) và \(\int-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\text{d}x=\int\dfrac{-\text{d}\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{1}{x-1}+C\)
nên \(F\left(x\right)=\int\left(\dfrac{2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{x-1}\right)\text{d}x=-\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{1}{x-1}+C\) .
