§5. Số gần đúng. Sai số

I. SỐ GẦN ĐÚNG

Ví dụ 1: Khi tính diện tích của một hình tròn bán kính \(r=2cm\) theo công thức \(S=\pi r^2\):

Nam lấy một giá trị gần đúng của \(\pi\) là 3,1 và được kết quả:

              \(S=3,1.2^2=3,1.4=12,4\left(cm^2\right)\)

Minh lấy một giá trị gần đúng của \(\pi\) là 3,14 và được kết quả:

             \(S=3,14.2^2=3,14.4=12,56\left(cm^2\right)\)

Vì \(\pi=3,141592653...\) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên ta chỉ viết được gần đúng kết quả của phép tính \(\pi.r^2\) bằng một số thập phân hữu hạn.

Ví dụ 2: - Bán kính đường xích đạo của Trái Đất là 6378 km ;

             - Khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất là 384.400 km ;

             - Khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất là 148.600.000 km ; ...

Các số liệu trên đều là các ví dụ về các số gần đúng.

Để đo các đại lượng như độ dài đường Xích Đạo của Trái Đất, khoảng cách từ Trái Đất đến các vì sao,... người ta phải dùng các phương pháp và các dụng cụ đo đặc biệt. Kết quả của các phép đo phụ thuộc vào phương pháp đo và dụng cụ được sử dụng, vì thế thường chỉ là các số gần đúng.

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các giá trị gần đúng.

II. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI

1. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng

Ví dụ: Ta xét lại kết quả tính diện tích hình tròn có bán kính \(r=2cm\) trên:

    Nam tính được diện tích hình tròn là \(S=3,1.4=12,4\left(cm^2\right)\)

    Minh tính được diện tích hình tròn là \(S=3,14.4=12,56\left(cm^2\right)\)

Ta thấy \(3,1< 3,14< \pi\)

Do đó \(3,1.4< 3,14.4< \pi.4\)

Hay \(12,4< 12,56< S=\pi.4\)

Như vậy, kết quả của Minh gần với kết quả đúng hơn, hay chính xác hơn.

Mặt khác từ bất đẳng thức trên ta suy ra \(\left|S-12,56\right|< \left|S-12,4\right|\)

Ta nói kết quả của Minh có sai số tuyệt đối nhỏ hơn của Nam.

Nếu \(a\) là số gần đúng của số đúng \(\overline{a}\) thì \(\Delta_a=\left|\overline{a}-a\right|\) được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng \(a\).

2. Độ chính xác của một số gần đúng

Vì ta không viết được giá trị đúng của \(S=\pi.4\) dưới dạng một số thập phân hữu hạn nên không thể tính được các sai số tuyệt đối đã nhắc ở trên. Tuy nhiên ta có thể ước lượng chúng.

Ta thấy: \(3,1< 3,14< \pi< 3,15\)

Do đó \(12,4< 12,56< \pi.4< 12,6\)

Từ đó suy ra \(\left|S-12,56\right|< \left|12,6-12,56\right|=0,04\)

                      \(\left|S-12,4\right|< \left|12,6-12,4\right|=0,2\)

Ta nói kết quả của Minh có sai số tuyệt đối không vượt qua 0,04 ;

          kết quả của Nam có sai số tuyệt đối không vượt qua 0,2.

Ta cũng nói: Kết quả của Minh có độ chính xác là 0,04 ;

                    Kết quả của Nam có độ chính xác là 0,2.

Nếu \(\Delta_a=\left|\overline{a}-a\right|\le d\) thì \(-d\le\overline{a}-a\le d\) hay \(a-d\le\overline{a}\le a+d\). Ta nói \(a\) là số gần đúng của số đúng \(\overline{a}\) với độ chính xác \(d\), và quy ước viết gọn là \(\overline{a}=a\pm d\).

Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó. Vì thế ngoài sai số tuyệt đối \(\Delta_a\) của số gần đúng \(a\), người ta còn xét tỉ số \(\delta_a=\dfrac{\Delta_a}{\left|a\right|}\) gọi là sai số tương đối của số gần đúng \(a\). Sai số tương đối càng nhỏ thì kết quả nhận được càng gần với số đo chính xác.

III. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG

1. Ôn tập quy tắc làm tròn số

Ta nhắc lại quy tắc làm tròn đã học ở lớp 7:

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải của nó bởi chữ số 0.

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.

Ví dụ:

+) Số quy tròn đến hàng nghìn của \(x=2.841.675\) là \(x\approx2.842.000\)  ;

+) Số quy tròn đến hàng chục của \(y=432.413\) là \(y\approx432.410\)  ;

+) Số quy tròn đến hàng phần trăm của \(z=12,4253\) là \(z\approx12,43\)  ; ...

2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước

Ví dụ 1: Cho số gần đúng \(a=2.841.275\) với độ chính xác \(d=300\). Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a\).

Giải:

Vì độ chính xác đến hàng trăm (\(d=300\)) nên ta quy tròn \(a\) đến hàng nghìn theo đúng quy tắc quy tròn trên.

Vậy số quy tròn của \(a\) là \(2.841.000\).

Ví dụ 2: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a=3,1463\) biết rằng \(\overline{a}=3,1463\pm0,001\).

Giải:

Độ chính xác của số gần đúng \(a\) là \(d=0,001\)

Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn số \(3,1463\) đến hàng phần trăm theo quy tắc làm tròn ở trên.

Vậy số quy tròn của \(a\) là \(3,15\).