Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácCông thức cộng là những công thức biểu thị \(\cos\left(a\pm b\right)\), \(\sin\left(a\pm b\right)\), \(\tan\left(a\pm b\right)\), \(\cot\left(a\pm b\right)\) qua các giá trị lượng giác của các góc \(a\) và \(b\). Ta có
\(\cos\left(a-b\right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b\) \(\cos\left(a+b\right)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b\) \(\sin\left(a-b\right)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b\) \(\sin\left(a+b\right)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b\) \(\tan\left(a-b\right)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}\) \(\tan\left(a+b\right)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}\) |
Với điều kiện là các biểu thức đều có nghĩa.
Ví dụ 1: Thực hiện tính:
a) \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) ;
b) \(\sin\dfrac{\pi}{12}\) ;
c) \(\tan\dfrac{13\pi}{12}\).
Giải:
a) Ta có: \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos\dfrac{\pi}{3}.\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}.\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
b) Ta có: \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\sin\dfrac{\pi}{3}.\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{3}.\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
c) Ta có: \(\tan\dfrac{13\pi}{12}=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)\) \(=\tan\dfrac{\pi}{12}\)
\(=\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\) \(=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3}-\tan\dfrac{\pi}{4}}{1+\tan\dfrac{\pi}{3}.\tan\dfrac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sin\left(a+b\right)}{\sin\left(a-b\right)}=\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}\).
Giải:
Ta có: \(\dfrac{\sin\left(a+b\right)}{\sin\left(a-b\right)}=\dfrac{\sin a.\cos b+\cos a.\sin b}{\sin a.\cos b-\cos a.\sin b}\)
Chia cả tử và mẫu của vế phải cho \(\cos a.\cos b\) ta được \(\dfrac{\dfrac{\sin a}{\cos a}+\dfrac{\sin b}{\cos b}}{\dfrac{\sin a}{\cos a}-\dfrac{\sin b}{\cos b}}\)
hay chính là \(\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}\).
Vậy \(\dfrac{\sin\left(a+b\right)}{\sin\left(a-b\right)}=\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}\).
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: \(A=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-b\right)-\sin\left(a-b\right)\).
Giải:
Áp dụng các công thức: \(\sin\left(a-b\right)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b\) ;
\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-b\right)=\cos b\) ; \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)=\sin a\)
Ta có: \(A=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-b\right)-\sin\left(a-b\right)\)
\(=\) \(\sin a.\cos b-\text{}\)\((\sin a.\cos b-\cos a.\sin b)\)
\(=\) \(\sin a.\cos b-\text{}\)\(\sin a.\cos b+\cos a.\sin b\)
\(=\) \(\cos a.\sin b\).
Cho \(a=b\) trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau:
\(\sin2a=2\sin a\cos a\) \(\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\) \(\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}\) |
Từ các công thức nhân đôi suy ra các công thức:
\(\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}\)
\(\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}\)
\(\tan^2a=\dfrac{1-\cos2a}{1+\cos2a}\)
Các công thức này được gọi là các công thức hạ bậc.
Ví dụ 1: Biết \(\sin a+\cos a=\dfrac{1}{2}\). Tính \(\sin2a\).
Giải:
Ta có: \(1=\sin^2a+\cos^2a=\left(\sin a+\cos a\right)^2-2\sin a\cos a\)
\(=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\sin2a=\dfrac{1}{4}-\sin2a\)
\(\Rightarrow\sin2a=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(\sin2a=-\dfrac{3}{4}\).
Ví dụ 2: Tính \(\cos\dfrac{\pi}{8}\).
Giải:
Ta có: \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) hay \(\cos\left(2.\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow2\cos^2\dfrac{\pi}{8}-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Suy ra \(2\cos^2\dfrac{\pi}{8}=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\)
Do \(\cos\dfrac{\pi}{8}>0\) nên suy ra \(\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\).
Ví dụ 3: Tính \(\tan2a\) biết \(\sin a+\cos a=\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{\pi}{2}< a< \dfrac{3\pi}{4}\).
Giải:
Ta có: \(\left(\sin a+\cos a\right)^2=\sin^2a+\cos^2a+2\sin a\cos a=1+\sin2a\)
\(\Rightarrow\sin2a=\left(\sin a+\cos a\right)^2-1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-1=-\dfrac{3}{4}\)
Lại có: \(\sin^22a+\cos^22a=1\)
\(\Rightarrow\cos^22a=1-\sin^22a=1-\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{7}{16}\)
Mà \(\dfrac{\pi}{2}< a< \dfrac{3\pi}{4}\) \(\Rightarrow\pi< 2a< \dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow\cos2a< 0\)
Nên \(\cos2a=-\sqrt{\dfrac{7}{16}}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)
Do đó: \(\tan2a=\dfrac{\sin2a}{\cos2a}=\dfrac{\dfrac{-3}{4}}{\dfrac{-\sqrt{7}}{4}}=\dfrac{3}{\sqrt{7}}\).
\(\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)+\cos\left(a+b\right)\right]\) \(\sin a\sin b=\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)\right]\) \(\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\sin\left(a-b\right)+\sin\left(a+b\right)\right]\) |
Các công thức trên được gọi là các công thức biến đổi tích thành tổng.
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức:
a) \(A=\sin\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{3\pi}{8}\) ;
b) \(B=\sin\dfrac{13\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}\).
Giải:
a) \(A=\sin\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{3\pi}{8}\) \(=\dfrac{1}{2}\left[\sin\left(\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{3\pi}{8}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3\pi}{8}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\dfrac{\pi}{2}\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
b) \(B=\sin\dfrac{13\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}\) \(=\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{13\pi}{24}-\dfrac{5\pi}{24}\right)-\cos\left(\dfrac{13\pi}{24}+\dfrac{5\pi}{24}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{4}\)
\(\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}\) \(\cos u-\cos v=-2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}\) \(\sin u+\sin v=2\sin\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}\) \(\sin u-\sin v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}\) |
Ví dụ 2: Tính \(A=\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}\).
Giải:
\(A=\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}\)
\(=\left(\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}\right)+\cos\dfrac{5\pi}{9}\)
\(=2\cos\dfrac{4\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos\left(\pi-\dfrac{5\pi}{9}\right)\)
\(=\cos\dfrac{4\pi}{9}-\cos\dfrac{4\pi}{9}=0\)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức \(B=\dfrac{\sin x+\sin3x+\sin5x}{\cos x+\cos3x+\cos5x}\).
Giải:
Ta có: \(\sin x+\sin3x+\sin5x=\left(\sin5x+\sin x\right)+\sin3x\)
\(=2\sin\dfrac{5x+x}{2}\cos\dfrac{5x-x}{2}+\sin3x\)
\(=2\sin3x\cos2x+\sin3x\)
\(=\sin3x\left(2\cos2x+1\right)\) (1)
Lại có: \(\cos x+\cos3x+\cos5x=\left(\cos5x+\cos x\right)+\cos3x\)
\(=2\cos\dfrac{5x+x}{2}\cos\dfrac{5x-x}{2}+\cos3x\)
\(=2\cos3x\cos2x+\cos3x\)
\(=\cos3x\left(2\cos2x+1\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A=\dfrac{\sin3x\left(2\cos2x+1\right)}{\cos3x\left(2\cos2x+1\right)}=\dfrac{\sin3x}{\cos3x}=\tan3x\)
Vậy \(A=\tan3x\).
Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) ta có
\(\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\)
Giải:
Trong tam giác \(ABC\) ta có \(A+B+C=\pi\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\)
Vì vậy: \(\sin\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\cos C}{2}\), \(\sin\dfrac{C}{2}=\cos\dfrac{A+B}{2}\)
Ta có: \(\sin A+\sin B+\sin C=\left(\sin A+\sin B\right)+\sin C\)
\(=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}+2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}\)
\(=2\cos\dfrac{C}{2}\left(\cos\dfrac{A-B}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\right)\)
\(=2\cos\dfrac{C}{2}\left(\cos\dfrac{A-B}{2}+\cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)
\(=2\cos\dfrac{C}{2}.(2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2})\)
\(=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\).