Luyện tập chung trang 79

Xét cuốn sách có dạng là hình chữ nhật chiều dài \(AB = CD = 24\) cm; chiều rộng \(AC = BD = 17\) cm.

Tam giác ACD vuông tại C có \(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2}\) (định lý Pythagore)

Thay số ta có: \(A{D^2} = {17^2} + {24^2} = 865\) hay \(AD = \sqrt {865} \) cm (vì \(AD > 0\))

\(\sin \alpha  = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{24}}{{\sqrt {865} }} \approx 0,82;\cos \alpha  = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{17}}{{\sqrt {865} }} \approx 0,58\) và \(\alpha  \approx {55^0}\)

Cạnh \(BC = BH + HC = 3 + 6 = 9\) cm

Ta có:

\(\sin \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \(\sin {60^0} = \frac{6}{{AC}}\) hay \(AC = \frac{6}{{\sin {{60}^0}}} = 4\sqrt 3 \approx 7\) cm

\(\tan \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{AH}}\) hay \(\tan {60^0} = \frac{6}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{6}{{\tan {{60}^0}}} = 2\sqrt 3 \) cm

\(\widehat C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\)

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {3^2} = 21\) hay \(AB = \sqrt {21} \approx 5\) cm (vì \(AB > 0\)) 

Ta có: \(tan B = \frac{AH}{BH} = \frac{2\sqrt 3}{3}\) suy ra \( \widehat B \approx 49^\circ\)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác, ta có:

\(\widehat {BAC} = 180^\circ - (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ - (49^\circ + 30^\circ) = 101^\circ\)

Chiều rộng của sông là \(d = 50.\tan {40^0} \approx 42\) m

Vậy chiều rộng của sông khoảng 42 m

a) Vị trí dấu hỏi chấm là \(3.\tan {40^0} \approx 2,5\)

b)

Gọi \(\alpha \) là góc ở vị trí dấu ?

Ta có \(\sin \alpha  = \frac{7}{{10}}\) nên \(\alpha  \approx {44^0}\)

c)

Gọi \(\alpha \) là góc ở vị trí dấu ?

Ta có \(\tan \alpha  = \frac{7}{5}\) nên \(\alpha  \approx {54^0}\)

d)

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn là a, cạnh góc vuông lớn hơn là b

Ta có \(a = 3.\sin {35^0} \approx 1,7\)

\(b = \left( {3 + 2} \right).\sin {35^0} \approx 2,9\)

Ta có: \(\widehat {BCA} + \widehat {ACH} = {180^0}\) (kề bù) suy ra \(\widehat {ACH} = 180^\circ - \widehat {BCA} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)

Nên \(AH = AC.\sin \widehat {ACH} = 90.\sin 60 = 45\sqrt 3 \) m

\(CH = AC.\cos \widehat {ACH} = 90.\cos {60^0} = 45\) m

Do đó \(BH = BC + CH = 150 + 45 = 195\) m

Tam giác ABH vuông tại H nên \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lý Pythagore)

Thay số ta có \(A{B^2} = {\left( {45\sqrt 3 } \right)^2} + {195^2}= 44100\) hay \(AB = 210\) m.

Kẻ BK vuông góc với DC tại K và AH vuông góc với DC tại H nên hình thang có hai đường cao là AH và BK; AB= HK = 3,5 m

Xét tứ giác ABKH có AH // BK; AH = BK; \(\widehat {AHK} = {90^0}\)

Nên ABKH là hình chữ nhật suy ra HK = AB = 3 m

Tam giác ADH vuông tại H nên ta có:

\(\tan \widehat D = \frac{{AH}}{{DH}}\)  hay \(1,25 = \frac{{3,5}}{{DH}}\) suy ra \(DH = \frac{{3,5}}{{1,25}} = 2,8\) m  = 28 dm.

\(A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} = 3,{5^2} + 2,{8^2} = 20,09\) hay \(AD = \sqrt {20,09}  \approx 4,5\) m = 45 dm (vì \(AD > 0\))

Tam giác BKC vuông tại K nên ta có:

\(\tan \widehat C = \frac{{BK}}{{KC}}\) hay \(1,5 = \frac{{3,5}}{{KC}}\) suy ra \(KC = \frac{{3,5}}{{1,5}} = \frac{7}{3} \approx 2,3\) m = 23 dm.

\(B{C^2} = B{K^2} + K{C^2} = 3,{5^2} + 2,{3^2} = 17,54\) hay \(BC = \sqrt {17,54}  \approx 4,2\) m =42 dm (vì \(BC > 0\))

Độ dài cạnh DC là \(DC = DH + HK + KC \approx 2,8 + 3 + 2,3 = 8,1m \approx 81dm\)

a) Tàu ở độ sâu là \(BH = AH.\sin \widehat A = 200.\sin {21^0} \approx 72\) m

Vậy khi di chuyển được 200 m thì tàu ở độ sâu khoảng 72 m.

b) Ta có \(\sin \widehat A = \frac{{BH}}{{AH}}\) hay \(\sin {21^0} = \frac{{200}}{{AH}}\) suy ra \(AH = \frac{{200}}{{\sin {{21}^0}}} \approx 558\) m = 0,558 km

Thời gian tàu chạy ở độ sâu 200 m là \(0,558:9 = 0,062\) giờ