Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  + 5\overrightarrow k \) là \(\left( {1;2;5} \right)\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON}  = x'.\overrightarrow i  + y'.\overrightarrow j  + z'.\overrightarrow k \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM}  = \left( {x'.\overrightarrow i  + y'.\overrightarrow j  + z'.\overrightarrow k } \right) - \left( {x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k } \right)\)

\( = \left( {x' - x} \right).\overrightarrow i  + \left( {y' - y} \right).\overrightarrow j  + \left( {z' - z} \right).\overrightarrow k \)

Do đó, \(\overrightarrow {MN}  = \left( {x' - x;y' - y;z' - z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {ON}  = 2\overrightarrow i  + 5\overrightarrow j  + 4\overrightarrow k \). Do đó, N(2; 5; 4).

Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \). Mà \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \). Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \).

Theo Ví dụ 3 ta có: \(m = 2,n = 3,p = 5\).

Vì ABB’O là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OA}  = n\overrightarrow j  + p\overrightarrow k  = 3\overrightarrow j  + 5\overrightarrow k \). Do đó, B(0; 3; 5)

Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC'}  = \overrightarrow {OD'}  + \overrightarrow {OB'}  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j \). Do đó, C’(2; 3; 0)

Vì ADD’A’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD'}  = m\overrightarrow i  + p\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 5\overrightarrow k \). Do đó, D(2; 0; 5)

a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \)

b) Vì \(\overrightarrow i \) là vectơ đơn vị trên trục Ox nên \(\overrightarrow {OA}  = x\overrightarrow i \) với x là số thực.

Vì \(\overrightarrow j \) là vectơ đơn vị trên trục Oy nên \(\overrightarrow {OB}  = y\overrightarrow j \) với y là số thực.

Vì \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị trên trục Oz nên \(\overrightarrow {OC}  = z\overrightarrow k \) với z là số thực.

Do đó, \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.

Góc căn phòng trong Hình 2.34 gợi lên hình ảnh về hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.

Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:

+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.

a) Các mặt phẳng có trong hình vẽ là: Mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

b) Vì \(Ox \bot Oy,Oy \bot Oz\), Ox và Oz cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (Oxz) nên \(Oy \bot \left( {Oxz} \right)\). Mà \(Oy \subset \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \left( {Oxz} \right) \bot \left( {Oxy} \right),Oy \subset \left( {Oyz} \right) \Rightarrow \left( {Oyz} \right) \bot \left( {Oxz} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left( {Oyz} \right) \bot \left( {Oxy} \right)\)

Vậy ba mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau.

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên các cạnh CC’, CB và CD đôi một vuông góc với nhau.

Các vectơ \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CC'} \) cùng có điểm đầu là C.

Do đó, suy ra có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt cùng hướng với các vectơ \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CC'} \).

Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:

+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.

 Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).