Bài 5. Tam giác đồng dạng

a) Xét tam giác ABM có A'B' là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow A'B' // AB\)

\( \Rightarrow \widehat {C'B'A'} = \widehat {CBA}\) (hai góc đồng vị)

Tương tự, tam giác AMC có A'C' là đường trung bình nên \(  = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị)

Xét tam giác ABC có:

\( \widehat {BAC} + \widehat {CBA} + \widehat {ACB} = 180^0\)

Xét tam giác A'B'C' có:

\( \widehat {B'A'C'} + \widehat {C'B'A'} + \widehat {A'C'B'} = 180^0\)

\(\Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {CBA} + \widehat {ACB} = \widehat {B'A'C'} + \widehat {C'B'A'} + \widehat {A'C'B'}\) 

\(\Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'}\)

b) A'B' là đường trung bình của tam giác ABM nên

\(A'B' = \frac {1}{2} AB \Rightarrow \frac {A'B'}{AB} = \frac {1}{2}\)

A'B' là đường trung bình của tam giác ABM nên

\(A'C' = \frac {1}{2} AC \Rightarrow \frac {A'C'}{AC} = \frac {1}{2}\)

Ta có: \( \frac{B'C'}{BC} = \frac{MB' +MC'}{2MB' + 2MC'} = \frac{MB' +MC'}{2(MB' + MC')} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow  \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} \)

Vì \(\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A'B' = AB = 3\\B'C' = BC = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 3\) và \(y = 2\).

B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên B’C’ là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow B'C' // BC\)

\( \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\)

Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat M = 45^\circ \\\widehat B = \widehat N = 60^\circ \\\widehat C = \widehat P\end{array} \right.\)

Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\45^\circ  + 60^\circ  + \widehat C = 180^\circ \\\widehat C = 180^\circ  - 45^\circ  - 60^\circ  = 75^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat P = 75^\circ \)

Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\) nên:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}}\\ \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{6}{{NP}} = \frac{5}{{PM}}\\ \Rightarrow NP = \frac{{15}}{2};\,\,PM = \frac{{25}}{4}\end{array}\)

Vì tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số \(\frac{1}{{1\,000\,000}}\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{1}{{1\,000\,000}}\\ \Rightarrow \frac{4}{{AB}} = \frac{5}{{BC}} = \frac{6}{{AC}} = \frac{1}{{1\,000\,000}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \)AB = 4 000 000cm = 40km.

\( \Rightarrow \)BC = 5 000 000cm = 50km.

\( \Rightarrow \)AC = 6 000 000cm = 60km.

Vậy khoảng cách giữa A và B là 40km, khoảng cách giữa B và C là 50km, khoảng cách giữa C và A là 60km.

Vì \(\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CD}} \Leftrightarrow \frac{{20}}{{50}} = \frac{8}{{CD}} \Rightarrow CD = 8.50:20 = 20\)

Vậy độ rộng của khúc sông là 20m.

Vì \(AM = MN = NB\) và \(AP = PQ = QC\) nên M và P lần lượt là trung điểm của AN và AQ.

Khi đó MP là đường trung bình của tam giác ANQ.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MP//NQ\\ \Rightarrow \Delta AMP \backsim \Delta ANQ\\ \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {ANQ}\end{array}\)

Ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MP//BC\) (Định lý Thales đảo)

\( \Rightarrow \Delta AMP \backsim \Delta ABC\).

a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AD//BC\) hay \(AD//BM\)

\( \Rightarrow \Delta NBM \backsim \Delta NAD\) (Định lý về cặp tam giác đồng dạng nhận dược từ định lý Thales)

b) Vì ABCD là hình bình hành nên\(AB//CD\) hay \(BN//CD\)

\( \Rightarrow \Delta NBM \backsim \Delta DCM\) (Định lý về cặp tam giác đồng dạng nhận dược từ định lý Thales)

c) Ta có \(\Delta NBM \backsim \Delta NAD\) (chứng minh ở câu a) và \(\Delta NBM \backsim \Delta DCM\) (chứng minh ở câu b) nên \(\Delta NAD \backsim \Delta DCM\).